Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > flt4lem5b | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Part 2 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem5a.m | โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
flt4lem5a.n | โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
flt4lem5a.r | โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) + (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
flt4lem5a.s | โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) โ (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
flt4lem5a.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
flt4lem5a.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
flt4lem5a.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
flt4lem5a.1 | โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) |
flt4lem5a.2 | โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) |
flt4lem5a.3 | โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem5b | โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท ๐)) = (๐ตโ2)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | flt4lem5a.a | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | nnsqcld 14005 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
3 | flt4lem5a.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | 3 | nnsqcld 14005 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
5 | flt4lem5a.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
6 | flt4lem5a.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) | |
7 | 2prm 16442 | . . . . . 6 โข 2 โ โ | |
8 | 1 | nnzd 12471 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
9 | prmdvdssq 16468 | . . . . . 6 โข ((2 โ โ โง ๐ด โ โค) โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) | |
10 | 7, 8, 9 | sylancr 588 | . . . . 5 โข (๐ โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
11 | 6, 10 | mtbid 324 | . . . 4 โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)) |
12 | flt4lem5a.2 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) | |
13 | 2nn 12092 | . . . . . . 7 โข 2 โ โ | |
14 | 13 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ 2 โ โ) |
15 | rplpwr 16312 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง 2 โ โ) โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) | |
16 | 1, 5, 14, 15 | syl3anc 1371 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
17 | 12, 16 | mpd 15 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1) |
18 | 1 | nncnd 12035 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18 | flt4lem 40519 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ดโ4) = ((๐ดโ2)โ2)) |
20 | 3 | nncnd 12035 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
21 | 20 | flt4lem 40519 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ตโ4) = ((๐ตโ2)โ2)) |
22 | 19, 21 | oveq12d 7325 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2))) |
23 | flt4lem5a.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) | |
24 | 22, 23 | eqtr3d 2778 | . . . 4 โข (๐ โ (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2)) |
25 | 2, 4, 5, 11, 17, 24 | flt4lem1 40520 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)))) |
26 | flt4lem5a.m | . . . 4 โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) | |
27 | flt4lem5a.n | . . . 4 โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) | |
28 | 26, 27 | pythagtriplem16 16576 | . . 3 โข ((((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ (๐ตโ2) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
29 | 25, 28 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ตโ2) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
30 | 29 | eqcomd 2742 | 1 โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท ๐)) = (๐ตโ2)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1087 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5081 โcfv 6458 (class class class)co 7307 1c1 10918 + caddc 10920 ยท cmul 10922 โ cmin 11251 / cdiv 11678 โcn 12019 2c2 12074 4c4 12076 โคcz 12365 โcexp 13828 โcsqrt 14989 โฅ cdvds 16008 gcd cgcd 16246 โcprime 16421 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7620 ax-cnex 10973 ax-resscn 10974 ax-1cn 10975 ax-icn 10976 ax-addcl 10977 ax-addrcl 10978 ax-mulcl 10979 ax-mulrcl 10980 ax-mulcom 10981 ax-addass 10982 ax-mulass 10983 ax-distr 10984 ax-i2m1 10985 ax-1ne0 10986 ax-1rid 10987 ax-rnegex 10988 ax-rrecex 10989 ax-cnre 10990 ax-pre-lttri 10991 ax-pre-lttrn 10992 ax-pre-ltadd 10993 ax-pre-mulgt0 10994 ax-pre-sup 10995 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3285 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-op 4572 df-uni 4845 df-iun 4933 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-tr 5199 df-id 5500 df-eprel 5506 df-po 5514 df-so 5515 df-fr 5555 df-we 5557 df-xp 5606 df-rel 5607 df-cnv 5608 df-co 5609 df-dm 5610 df-rn 5611 df-res 5612 df-ima 5613 df-pred 6217 df-ord 6284 df-on 6285 df-lim 6286 df-suc 6287 df-iota 6410 df-fun 6460 df-fn 6461 df-f 6462 df-f1 6463 df-fo 6464 df-f1o 6465 df-fv 6466 df-riota 7264 df-ov 7310 df-oprab 7311 df-mpo 7312 df-om 7745 df-1st 7863 df-2nd 7864 df-frecs 8128 df-wrecs 8159 df-recs 8233 df-rdg 8272 df-1o 8328 df-2o 8329 df-er 8529 df-en 8765 df-dom 8766 df-sdom 8767 df-fin 8768 df-sup 9245 df-inf 9246 df-pnf 11057 df-mnf 11058 df-xr 11059 df-ltxr 11060 df-le 11061 df-sub 11253 df-neg 11254 df-div 11679 df-nn 12020 df-2 12082 df-3 12083 df-4 12084 df-n0 12280 df-z 12366 df-uz 12629 df-rp 12777 df-fz 13286 df-fl 13558 df-mod 13636 df-seq 13768 df-exp 13829 df-cj 14855 df-re 14856 df-im 14857 df-sqrt 14991 df-abs 14992 df-dvds 16009 df-gcd 16247 df-prm 16422 |
This theorem is referenced by: flt4lem5e 40530 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |