Theorem flt4lem5b 42080

Description: Part 2 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem5a.m	⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.n	⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
flt4lem5a.r	⊢ 𝑅 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) + (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.s	⊢ 𝑆 = (((√‘(𝑀 + 𝑁)) − (√‘(𝑀 − 𝑁))) / 2)
flt4lem5a.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem5a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem5a.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem5a.1	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
flt4lem5a.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem5a.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem5b	⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))

Proof of Theorem flt4lem5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem5a.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 14244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3		flt4lem5a.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
5		flt4lem5a.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
6		flt4lem5a.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐴)
7		2prm 16668	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
8	1	nnzd 12621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
9		prmdvdssq 16694	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
10	7, 8, 9	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ (𝐴↑2)))
11	6, 10	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))
12		flt4lem5a.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
13		2nn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		rplpwr 16538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
16	1, 5, 14, 15	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1))
17	12, 16	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) gcd 𝐶) = 1)
18	1	nncnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	flt4lem 42072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
20	3	nncnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	flt4lem 42072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) = ((𝐵↑2)↑2))
22	19, 21	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)))
23		flt4lem5a.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑2))
24	22, 23	eqtr3d 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2))
25	2, 4, 5, 11, 17, 24	flt4lem1 42073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))))
26		flt4lem5a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) + (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
27		flt4lem5a.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (((√‘(𝐶 + (𝐵↑2))) − (√‘(𝐶 − (𝐵↑2)))) / 2)
28	26, 27	pythagtriplem16 16804	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℕ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (((𝐴↑2)↑2) + ((𝐵↑2)↑2)) = (𝐶↑2) ∧ (((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐴↑2))) → (𝐵↑2) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
29	25, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) = (2 · (𝑀 · 𝑁)))
30	29	eqcomd 2733	1 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑀 · 𝑁)) = (𝐵↑2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   − cmin 11480   / cdiv 11907  ℕcn 12248  2c2 12303  4c4 12305  ℤcz 12594  ↑cexp 14064  √csqrt 15218   ∥ cdvds 16236   gcd cgcd 16474  ℙcprime 16647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42083