Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem5b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem5b 40527
Description: Part 2 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem5a.m ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.n ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
flt4lem5a.r ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.s ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)
flt4lem5a.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
flt4lem5a.1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
flt4lem5a.2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
flt4lem5a.3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem5b (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ตโ†‘2))

Proof of Theorem flt4lem5b
StepHypRef Expression
1 flt4lem5a.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnsqcld 14005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
3 flt4lem5a.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnsqcld 14005 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
5 flt4lem5a.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
6 flt4lem5a.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)
7 2prm 16442 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„™
81nnzd 12471 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
9 prmdvdssq 16468 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
107, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ ๐ด โ†” 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
116, 10mtbid 324 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))
12 flt4lem5a.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
13 2nn 12092 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
1413a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
15 rplpwr 16312 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
161, 5, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1))
1712, 16mpd 15 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) gcd ๐ถ) = 1)
181nncnd 12035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918flt4lem 40519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘2))
203nncnd 12035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2120flt4lem 40519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘4) = ((๐ตโ†‘2)โ†‘2))
2219, 21oveq12d 7325 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)))
23 flt4lem5a.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))
2422, 23eqtr3d 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
252, 4, 5, 11, 17, 24flt4lem1 40520 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))))
26 flt4lem5a.m . . . 4 ๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
27 flt4lem5a.n . . . 4 ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)
2826, 27pythagtriplem16 16576 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ดโ†‘2)โ†‘2) + ((๐ตโ†‘2)โ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง (((๐ดโ†‘2) gcd (๐ตโ†‘2)) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ดโ†‘2))) โ†’ (๐ตโ†‘2) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
2925, 28syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) = (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)))
3029eqcomd 2742 1 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ตโ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5081  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920   ยท cmul 10922   โˆ’ cmin 11251   / cdiv 11678  โ„•cn 12019  2c2 12074  4c4 12076  โ„คcz 12365  โ†‘cexp 13828  โˆšcsqrt 14989   โˆฅ cdvds 16008   gcd cgcd 16246  โ„™cprime 16421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422
This theorem is referenced by:  flt4lem5e  40530
  Copyright terms: Public domain W3C validator