![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > flt4lem5b | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Part 2 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem5a.m | โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
flt4lem5a.n | โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) |
flt4lem5a.r | โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) + (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
flt4lem5a.s | โข ๐ = (((โโ(๐ + ๐)) โ (โโ(๐ โ ๐))) / 2) |
flt4lem5a.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
flt4lem5a.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
flt4lem5a.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
flt4lem5a.1 | โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) |
flt4lem5a.2 | โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) |
flt4lem5a.3 | โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem5b | โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท ๐)) = (๐ตโ2)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | flt4lem5a.a | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | nnsqcld 14238 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ดโ2) โ โ) |
3 | flt4lem5a.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | 3 | nnsqcld 14238 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
5 | flt4lem5a.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
6 | flt4lem5a.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ ๐ด) | |
7 | 2prm 16662 | . . . . . 6 โข 2 โ โ | |
8 | 1 | nnzd 12615 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
9 | prmdvdssq 16688 | . . . . . 6 โข ((2 โ โ โง ๐ด โ โค) โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) | |
10 | 7, 8, 9 | sylancr 585 | . . . . 5 โข (๐ โ (2 โฅ ๐ด โ 2 โฅ (๐ดโ2))) |
11 | 6, 10 | mtbid 323 | . . . 4 โข (๐ โ ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)) |
12 | flt4lem5a.2 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ถ) = 1) | |
13 | 2nn 12315 | . . . . . . 7 โข 2 โ โ | |
14 | 13 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ 2 โ โ) |
15 | rplpwr 16532 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง 2 โ โ) โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) | |
16 | 1, 5, 14, 15 | syl3anc 1368 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ถ) = 1 โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1)) |
17 | 12, 16 | mpd 15 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ดโ2) gcd ๐ถ) = 1) |
18 | 1 | nncnd 12258 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
19 | 18 | flt4lem 42134 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ดโ4) = ((๐ดโ2)โ2)) |
20 | 3 | nncnd 12258 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
21 | 20 | flt4lem 42134 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ตโ4) = ((๐ตโ2)โ2)) |
22 | 19, 21 | oveq12d 7434 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2))) |
23 | flt4lem5a.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ4) + (๐ตโ4)) = (๐ถโ2)) | |
24 | 22, 23 | eqtr3d 2767 | . . . 4 โข (๐ โ (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2)) |
25 | 2, 4, 5, 11, 17, 24 | flt4lem1 42135 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2)))) |
26 | flt4lem5a.m | . . . 4 โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) + (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) | |
27 | flt4lem5a.n | . . . 4 โข ๐ = (((โโ(๐ถ + (๐ตโ2))) โ (โโ(๐ถ โ (๐ตโ2)))) / 2) | |
28 | 26, 27 | pythagtriplem16 16798 | . . 3 โข ((((๐ดโ2) โ โ โง (๐ตโ2) โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (((๐ดโ2)โ2) + ((๐ตโ2)โ2)) = (๐ถโ2) โง (((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2)) = 1 โง ยฌ 2 โฅ (๐ดโ2))) โ (๐ตโ2) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
29 | 25, 28 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ตโ2) = (2 ยท (๐ ยท ๐))) |
30 | 29 | eqcomd 2731 | 1 โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท ๐)) = (๐ตโ2)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5143 โcfv 6543 (class class class)co 7416 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 / cdiv 11901 โcn 12242 2c2 12297 4c4 12299 โคcz 12588 โcexp 14058 โcsqrt 15212 โฅ cdvds 16230 gcd cgcd 16468 โcprime 16641 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-2o 8486 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-sup 9465 df-inf 9466 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-fl 13789 df-mod 13867 df-seq 13999 df-exp 14059 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-dvds 16231 df-gcd 16469 df-prm 16642 |
This theorem is referenced by: flt4lem5e 42145 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |