Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem2 42657
Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem2.2 . 2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
42, 3anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑖 = 2 → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 uzid 12893 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘2))
9 flt4lem2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12 flt4lem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
13 flt4lem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
14 gcdnncl 16544 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1615nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18 flt4lem2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
2019nnzd 12640 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
2212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
2322nnzd 12640 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2413nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26 dvdsgcd 16581 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2711, 23, 25, 26syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2810, 21, 27mp2and 699 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29 2nn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31 flt4lem2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
3212, 13, 18, 30, 31fltdvdsabdvdsc 42648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3411, 17, 20, 28, 33dvdstrd 16332 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
3510, 34jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
364, 8, 35rspcedvdw 3625 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶))
37 ncoprmgcdne1b 16687 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3822, 19, 37syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3936, 38mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
4039ex 412 . . 3 (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
4140necon2bd 2956 . 2 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  flt4lem3  42658  flt4lem7  42669  nna4b4nsq  42670
  Copyright terms: Public domain W3C validator