Theorem flt4lem2 42642

Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5		2z 12572	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		uzid 12815	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9		flt4lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
11	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12		flt4lem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
13		flt4lem2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
14		gcdnncl 16484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18		flt4lem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
22	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
24	13	nnzd 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26		dvdsgcd 16521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	10, 21, 27	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29		2nn 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31		flt4lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
32	12, 13, 18, 30, 31	fltdvdsabdvdsc 42633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
34	11, 17, 20, 28, 33	dvdstrd 16272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
35	10, 34	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
36	4, 8, 35	rspcedvdw 3594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
37		ncoprmgcdne1b 16627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
38	22, 19, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
39	36, 38	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
40	39	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
41	40	necon2bd 2942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472

This theorem is referenced by:  flt4lem3  42643  flt4lem7  42654  nna4b4nsq  42655