Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem2 41993
Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem2.2 . 2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
42, 3anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑖 = 2 → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5 2z 12616 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 uzid 12859 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘2))
9 flt4lem2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12 flt4lem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
13 flt4lem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
14 gcdnncl 16473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1615nnzd 12607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18 flt4lem2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
2019nnzd 12607 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
2212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
2322nnzd 12607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2413nnzd 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26 dvdsgcd 16511 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2711, 23, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2810, 21, 27mp2and 698 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29 2nn 12307 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31 flt4lem2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
3212, 13, 18, 30, 31fltdvdsabdvdsc 41984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3411, 17, 20, 28, 33dvdstrd 16263 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
3510, 34jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
364, 8, 35rspcedvdw 3610 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶))
37 ncoprmgcdne1b 16612 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3822, 19, 37syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3936, 38mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
4039ex 412 . . 3 (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
4140necon2bd 2951 . 2 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   + caddc 11133  cn 12234  2c2 12289  cz 12580  cuz 12844  cexp 14050  cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  flt4lem3  41994  flt4lem7  42005  nna4b4nsq  42006
  Copyright terms: Public domain W3C validator