Theorem flt4lem2 42071

Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
4	2, 3	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5		2z 12624	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		uzid 12867	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9		flt4lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
11	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12		flt4lem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
13		flt4lem2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
14		gcdnncl 16481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18		flt4lem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
22	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
24	13	nnzd 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26		dvdsgcd 16519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	10, 21, 27	mp2and 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29		2nn 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31		flt4lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
32	12, 13, 18, 30, 31	fltdvdsabdvdsc 42062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
34	11, 17, 20, 28, 33	dvdstrd 16271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
35	10, 34	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
36	4, 8, 35	rspcedvdw 3612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
37		ncoprmgcdne1b 16620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
38	22, 19, 37	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
39	36, 38	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
40	39	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
41	40	necon2bd 2953	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11139   + caddc 11141  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ↑cexp 14058   ∥ cdvds 16230   gcd cgcd 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469

This theorem is referenced by:  flt4lem3  42072  flt4lem7  42083  nna4b4nsq  42084