Theorem flt4lem2 43359

Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
4	2, 3	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5		2z 12627	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		uzid 12878	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9		flt4lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
11	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12		flt4lem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
13		flt4lem2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
14		gcdnncl 16566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18		flt4lem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
22	12	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
24	13	nnzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26		dvdsgcd 16603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	10, 21, 27	mp2and 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29		2nn 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31		flt4lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
32	12, 13, 18, 30, 31	fltdvdsabdvdsc 43350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
33	32	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
34	11, 17, 20, 28, 33	dvdstrd 16354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
35	10, 34	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
36	4, 8, 35	rspcedvdw 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
37		ncoprmgcdne1b 16709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
38	22, 19, 37	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
39	36, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
40	39	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
41	40	necon2bd 2974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
42	1, 41	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  2c2 12296  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16311   gcd cgcd 16553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554

This theorem is referenced by:  flt4lem3  43360  flt4lem7  43371  nna4b4nsq  43372