Theorem flt4lem2 43104

Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
4	2, 3	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5		2z 12557	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		uzid 12801	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9		flt4lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
11	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12		flt4lem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
13		flt4lem2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
14		gcdnncl 16474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18		flt4lem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
22	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
24	13	nnzd 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26		dvdsgcd 16511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	10, 21, 27	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29		2nn 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31		flt4lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
32	12, 13, 18, 30, 31	fltdvdsabdvdsc 43095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
34	11, 17, 20, 28, 33	dvdstrd 16262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
35	10, 34	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
36	4, 8, 35	rspcedvdw 3570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
37		ncoprmgcdne1b 16617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
38	22, 19, 37	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
39	36, 38	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
40	39	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
41	40	necon2bd 2951	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039  ℕcn 12172  2c2 12234  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ↑cexp 14021   ∥ cdvds 16219   gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462

This theorem is referenced by:  flt4lem3  43105  flt4lem7  43116  nna4b4nsq  43117