Theorem flt4lem2 42634

Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem2	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑖 ∥ 𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5		2z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		uzid 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9		flt4lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
11	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12		flt4lem2.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
13		flt4lem2.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
14		gcdnncl 16541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
16	15	nnzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18		flt4lem2.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
22	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
23	22	nnzd 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
24	13	nnzd 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26		dvdsgcd 16578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
28	10, 21, 27	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29		2nn 12337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31		flt4lem2.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
32	12, 13, 18, 30, 31	fltdvdsabdvdsc 42625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
33	32	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
34	11, 17, 20, 28, 33	dvdstrd 16329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
35	10, 34	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
36	4, 8, 35	rspcedvdw 3625	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶))
37		ncoprmgcdne1b 16684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
38	22, 19, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
39	36, 38	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
40	39	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
41	40	necon2bd 2954	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529

This theorem is referenced by:  flt4lem3  42635  flt4lem7  42646  nna4b4nsq  42647