Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem2 40056
Description: If 𝐴 is even, 𝐵 is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem2.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem2.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
flt4lem2.2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
flt4lem2.3 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem flt4lem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flt4lem2.2 . 2 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐶) = 1)
2 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
3 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → (𝑖𝐶 ↔ 2 ∥ 𝐶))
42, 3anbi12d 634 . . . . . 6 (𝑖 = 2 → ((𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶)))
5 2z 12095 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 uzid 12339 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘2)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘2))
9 flt4lem2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∥ 𝐴)
109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐴)
115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
12 flt4lem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
13 flt4lem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
14 gcdnncl 15950 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1512, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
1615nnzd 12167 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
1716adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
18 flt4lem2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℕ)
2019nnzd 12167 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
21 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐵)
2212adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
2322nnzd 12167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2413nnzd 12167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2524adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
26 dvdsgcd 15988 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2711, 23, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ((2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
2810, 21, 27mp2and 699 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
29 2nn 11789 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
31 flt4lem2.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
3212, 13, 18, 30, 31fltdvdsabdvdsc 40047 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3332adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
3411, 17, 20, 28, 33dvdstrd 15740 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ 𝐶)
3510, 34jca 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐶))
364, 8, 35rspcedvdw 39771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶))
37 ncoprmgcdne1b 16091 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3822, 19, 37syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐶) ↔ (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
3936, 38mpbid 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1)
4039ex 416 . . 3 (𝜑 → (2 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐶) ≠ 1))
4140necon2bd 2950 . 2 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐶) = 1 → ¬ 2 ∥ 𝐵))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  1c1 10616   + caddc 10618  cn 11716  2c2 11771  cz 12062  cuz 12324  cexp 13521  cdvds 15699   gcd cgcd 15937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938
This theorem is referenced by:  flt4lem3  40057  flt4lem7  40068  nna4b4nsq  40069
  Copyright terms: Public domain W3C validator