Theorem cphsqrtcl 24081

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 14927	. . . 4 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6545	. . . 4 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ √ Fn ℂ
4		inss2 4144	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5		rge0ssre 13044	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10786	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3910	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8	4, 7	sstri 3910	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9		simp1 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		elrege0 13042	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
11	10	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12	11	3adant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	9, 12	elind 4108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14		fnfvima 7049	. . 3 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
15	3, 8, 13, 14	mp3an12i 1467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		cphsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20		cphsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	16, 17, 18, 19, 20	iscph 24067	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
22	21	simp2bi 1148	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
23	22	sselda 3901	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	15, 23	sylan2 596	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  +∞cpnf 10864   ≤ cle 10868  [,)cico 12937  √csqrt 14796  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  Scalarcsca 16805  ·_𝑖cip 16807  ℂ_fldccnfld 20363  PreHilcphl 20586  normcnm 23474  NrmModcnlm 23478  ℂPreHilccph 24063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-cph 24065

This theorem is referenced by:  cphabscl  24082  cphsqrtcl2  24083  cphsqrtcl3  24084  cphnmf  24092  ipcau  24135  cphsscph  24148