MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 25218
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 15402 . . . 4 √:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6736 . . . 4 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . 3 √ Fn ℂ
4 inss2 4238 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5 rge0ssre 13496 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3993 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
84, 7sstri 3993 . . 3 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴𝐾)
10 elrege0 13494 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
1110biimpri 228 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12113adant1 1131 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
139, 12elind 4200 . . 3 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14 fnfvima 7253 . . 3 ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
153, 8, 13, 14mp3an12i 1467 . 2 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17 eqid 2737 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2737 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
2116, 17, 18, 19, 20iscph 25204 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖𝑊)𝑥)))))
2221simp2bi 1147 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
2322sselda 3983 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
2415, 23sylan2 593 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  cle 11296  [,)cico 13389  csqrt 15272  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  fldccnfld 21364  PreHilcphl 21642  normcnm 24589  NrmModcnlm 24593  ℂPreHilccph 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-cph 25202
This theorem is referenced by:  cphabscl  25219  cphsqrtcl2  25220  cphsqrtcl3  25221  cphnmf  25229  ipcau  25272  cphsscph  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator