Theorem cphsqrtcl 25549

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15572	. . . 4 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ √ Fn ℂ
4		inss2 4137	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5		rge0ssre 13625	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11294	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3922	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8	4, 7	sstri 3922	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		elrege0 13623	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
11	10	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12	11	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	9, 12	elind 4100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14		fnfvima 7268	. . 3 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
15	3, 8, 13, 14	mp3an12i 1495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		cphsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20		cphsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	16, 17, 18, 19, 20	iscph 25535	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
22	21	simp2bi 1164	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
23	22	sselda 3913	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	15, 23	sylan2 605	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   “ cima 5659   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  +∞cpnf 11377   ≤ cle 11381  [,)cico 13516  √csqrt 15441  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  Scalarcsca 17472  ·_𝑖cip 17474  ℂ_fldccnfld 21720  PreHilcphl 21974  normcnm 24939  NrmModcnlm 24943  ℂPreHilccph 25531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-ico 13520  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-cph 25533

This theorem is used by:  cphabscl  25550  cphsqrtcl2  25551  cphsqrtcl3  25552  cphnmf  25560  ipcau  25603  cphsscph  25616