Theorem cphsqrtcl 25134

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15380	. . . 4 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6705	. . . 4 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ √ Fn ℂ
4		inss2 4213	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5		rge0ssre 13471	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11184	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3968	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8	4, 7	sstri 3968	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		elrege0 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
11	10	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12	11	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	9, 12	elind 4175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14		fnfvima 7224	. . 3 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
15	3, 8, 13, 14	mp3an12i 1467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		cphsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20		cphsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	16, 17, 18, 19, 20	iscph 25120	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
22	21	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
23	22	sselda 3958	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	15, 23	sylan2 593	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   “ cima 5657   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11264   ≤ cle 11268  [,)cico 13362  √csqrt 15250  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  Scalarcsca 17272  ·_𝑖cip 17274  ℂ_fldccnfld 21313  PreHilcphl 21582  normcnm 24513  NrmModcnlm 24517  ℂPreHilccph 25116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-cph 25118

This theorem is referenced by:  cphabscl  25135  cphsqrtcl2  25136  cphsqrtcl3  25137  cphnmf  25145  ipcau  25188  cphsscph  25201