Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 23799
 Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 14718 . . . 4 √:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6488 . . . 4 (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . 3 √ Fn ℂ
4 inss2 4156 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5 rge0ssre 12837 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 10586 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 3924 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
84, 7sstri 3924 . . 3 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴𝐾)
10 elrege0 12835 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
1110biimpri 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12113adant1 1127 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
139, 12elind 4121 . . 3 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14 fnfvima 6974 . . 3 ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
153, 8, 13, 14mp3an12i 1462 . 2 ((𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17 eqid 2798 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2798 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
2116, 17, 18, 19, 20iscph 23785 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖𝑊)𝑥)))))
2221simp2bi 1143 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
2322sselda 3915 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
2415, 23sylan2 595 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   “ cima 5523   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664   ≤ cle 10668  [,)cico 12731  √csqrt 14587  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  Scalarcsca 16563  ·𝑖cip 16565  ℂfldccnfld 20095  PreHilcphl 20318  normcnm 23193  NrmModcnlm 23197  ℂPreHilccph 23781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-ico 12735  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-cph 23783 This theorem is referenced by:  cphabscl  23800  cphsqrtcl2  23801  cphsqrtcl3  23802  cphnmf  23810  ipcau  23852  cphsscph  23865
 Copyright terms: Public domain W3C validator