MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 24571
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 15257 . . . 4 √:β„‚βŸΆβ„‚
2 ffn 6672 . . . 4 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
31, 2ax-mp 5 . . 3 √ Fn β„‚
4 inss2 4193 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† (0[,)+∞)
5 rge0ssre 13382 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11116 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3957 . . . 4 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
84, 7sstri 3957 . . 3 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚
9 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
10 elrege0 13380 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
1110biimpri 227 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12113adant1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
139, 12elind 4158 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14 fnfvima 7187 . . 3 ((√ Fn β„‚ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
153, 8, 13, 14mp3an12i 1466 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2733 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
18 eqid 2733 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
19 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
20 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2116, 17, 18, 19, 20iscph 24557 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil ↔ ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) βŠ† 𝐾 ∧ (normβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯)))))
2221simp2bi 1147 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) βŠ† 𝐾)
2322sselda 3948 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
2415, 23sylan2 594 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  +∞cpnf 11194   ≀ cle 11198  [,)cico 13275  βˆšcsqrt 15127  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  Scalarcsca 17144  Β·π‘–cip 17146  β„‚fldccnfld 20819  PreHilcphl 21051  normcnm 23955  NrmModcnlm 23959  β„‚PreHilccph 24553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-cph 24555
This theorem is referenced by:  cphabscl  24572  cphsqrtcl2  24573  cphsqrtcl3  24574  cphnmf  24582  ipcau  24625  cphsscph  24638
  Copyright terms: Public domain W3C validator