Theorem cphsqrtcl 25237

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15412	. . . 4 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6747	. . . 4 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ √ Fn ℂ
4		inss2 4259	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5		rge0ssre 13516	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11241	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 4018	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8	4, 7	sstri 4018	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		elrege0 13514	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
11	10	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12	11	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	9, 12	elind 4223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14		fnfvima 7270	. . 3 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
15	3, 8, 13, 14	mp3an12i 1465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		cphsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20		cphsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	16, 17, 18, 19, 20	iscph 25223	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
22	21	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
23	22	sselda 4008	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	15, 23	sylan2 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  √csqrt 15282  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  Scalarcsca 17314  ·_𝑖cip 17316  ℂ_fldccnfld 21387  PreHilcphl 21665  normcnm 24610  NrmModcnlm 24614  ℂPreHilccph 25219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-cph 25221

This theorem is referenced by:  cphabscl  25238  cphsqrtcl2  25239  cphsqrtcl3  25240  cphnmf  25248  ipcau  25291  cphsscph  25304