Theorem cphsqrtcl 25067

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 15316	. . . 4 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6711	. . . 4 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ √ Fn ℂ
4		inss2 4224	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,)+∞)
5		rge0ssre 13439	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11169	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3986	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
8	4, 7	sstri 3986	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ
9		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10		elrege0 13437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
11	10	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12	11	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
13	9, 12	elind 4189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14		fnfvima 7230	. . 3 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
15	3, 8, 13, 14	mp3an12i 1461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
18		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		cphsca.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
20		cphsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
21	16, 17, 18, 19, 20	iscph 25053	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)) ∧ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾 ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
22	21	simp2bi 1143	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) ⊆ 𝐾)
23	22	sselda 3977	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (√‘𝐴) ∈ (√ “ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	15, 23	sylan2 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   “ cima 5672   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253  [,)cico 13332  √csqrt 15186  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  Scalarcsca 17209  ·_𝑖cip 17211  ℂ_fldccnfld 21240  PreHilcphl 21517  normcnm 24440  NrmModcnlm 24444  ℂPreHilccph 25049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-cph 25051

This theorem is referenced by:  cphabscl  25068  cphsqrtcl2  25069  cphsqrtcl3  25070  cphnmf  25078  ipcau  25121  cphsscph  25134