MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl 25140
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 15352 . . . 4 √:β„‚βŸΆβ„‚
2 ffn 6727 . . . 4 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ √ Fn β„‚)
31, 2ax-mp 5 . . 3 √ Fn β„‚
4 inss2 4232 . . . 4 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† (0[,)+∞)
5 rge0ssre 13475 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
6 ax-resscn 11205 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstri 3991 . . . 4 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
84, 7sstri 3991 . . 3 (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚
9 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
10 elrege0 13473 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴))
1110biimpri 227 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
12113adant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
139, 12elind 4196 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))
14 fnfvima 7251 . . 3 ((√ Fn β„‚ ∧ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
153, 8, 13, 14mp3an12i 1461 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))))
16 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
17 eqid 2728 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
18 eqid 2728 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
19 cphsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
20 cphsca.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
2116, 17, 18, 19, 20iscph 25126 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil ↔ ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)) ∧ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) βŠ† 𝐾 ∧ (normβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)π‘₯)))))
2221simp2bi 1143 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞))) βŠ† 𝐾)
2322sselda 3982 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ (√ β€œ (𝐾 ∩ (0[,)+∞)))) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
2415, 23sylan2 591 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  +∞cpnf 11285   ≀ cle 11289  [,)cico 13368  βˆšcsqrt 15222  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  Scalarcsca 17245  Β·π‘–cip 17247  β„‚fldccnfld 21293  PreHilcphl 21570  normcnm 24513  NrmModcnlm 24517  β„‚PreHilccph 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13372  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-cph 25124
This theorem is referenced by:  cphabscl  25141  cphsqrtcl2  25142  cphsqrtcl3  25143  cphnmf  25151  ipcau  25194  cphsscph  25207
  Copyright terms: Public domain W3C validator