Theorem fourierdlem9 46721

Description: 𝐻 is a complex function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem9.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem9.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem9.r	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem9.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem9.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem9	⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠)   𝐻(𝑠)   𝑊(𝑠)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11210	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ ℝ)
2		fourierdlem9.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		fourierdlem9.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		pire 26584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
7	6	renegcli 11518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ
8		iccssre 13455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
9	7, 6, 8	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
10	9	sseli 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
11	10	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
13	3, 12	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
15		fourierdlem9.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16		fourierdlem9.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
17	15, 16	ifcld 4539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
18	17	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
19	14, 18	resubcld 11641	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
20	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
21		neqne 2972	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
22	21	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ≠ 0)
23	19, 20, 22	redivcld 12042	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
24	1, 23	ifclda 4528	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
25		fourierdlem9.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
26	24, 25	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099   + caddc 11102   < clt 11242   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870  [,]cicc 13374  πcpi 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994

This theorem is referenced by:  fourierdlem55  46766  fourierdlem66  46777  fourierdlem74  46785  fourierdlem75  46786  fourierdlem77  46788  fourierdlem85  46796  fourierdlem88  46799  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815