Theorem atancn 26998

Description: The arctangent is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
atancn	⊢ (arctan ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atancn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		atanf 26942	. . 3 ⊢ arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
3		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4		atansopn.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
5	3, 4	atansssdm 26995	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom arctan
6	2	fdmi 6703	. . . 4 ⊢ dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
7	5, 6	sseqtri 3984	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
8		fssres 6730	. . 3 ⊢ ((arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})) → (arctan ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
9	2, 7, 8	mp2an 702	. 2 ⊢ (arctan ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ
10	4	ssrab3 4035	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
11		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (1 / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V
12	3, 4	dvatan 26997	. . . 4 ⊢ (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
13	11, 12	dmmpti 6665	. . 3 ⊢ dom (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = 𝑆
14		dvcn 25980	. . 3 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (arctan ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = 𝑆) → (arctan ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
15	13, 14	mpan2 701	. 2 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (arctan ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (arctan ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
16	1, 9, 10, 15	mp3an 1482	1 ⊢ (arctan ↾ 𝑆) ∈ (𝑆–cn→ℂ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {cpr 4584  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074  ici 11075   + caddc 11076  -∞cmnf 11214  -cneg 11415   / cdiv 11844  2c2 12272  (,]cioc 13350  ↑cexp 14074  –cn→ccncf 24935   D cdv 25922  arctancatan 26926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-tan 16101  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-cmp 23444  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618  df-atan 26929

This theorem is referenced by:  leibpi  27004