Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1ae0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1ae0 20940
 Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1ae0.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1ae0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1ae0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1ae0 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1ae0.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1ae0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1ae0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1ae0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 2, 3, 4, 5coe1fsupp 20938 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7 breq1 5035 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
87elrab 3602 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
94fvexi 6672 . . . . . 6 0 ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐵0 ∈ V)
11 fsuppmapnn0ub 13412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1210, 11sylan2 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1312impancom 455 . . 3 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
148, 13sylbi 220 . 2 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
156, 14mpcom 38 1 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416   finSupp cfsupp 8866   < clt 10713  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541  0gc0g 16771  Poly1cpl1 20901  coe1cco1 20902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-ple 16643  df-psr 20671  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-psr1 20904  df-ply1 20906  df-coe1 20907 This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  21474  ply1mulgsumlem1  45160
 Copyright terms: Public domain W3C validator