MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1ae0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1ae0 21739
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1ae0.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1ae0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1ae0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1ae0 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1ae0.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1ae0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1ae0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1ae0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 2, 3, 4, 5coe1fsupp 21737 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7 breq1 5151 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
87elrab 3683 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
94fvexi 6905 . . . . . 6 0 ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐵0 ∈ V)
11 fsuppmapnn0ub 13959 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1210, 11sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1312impancom 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
148, 13sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
156, 14mpcom 38 1 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  m cmap 8819   finSupp cfsupp 9360   < clt 11247  0cn0 12471  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Poly1cpl1 21700  coe1cco1 21701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-coe1 21706
This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  22275  evls1fpws  32641  ply1mulgsumlem1  47057
  Copyright terms: Public domain W3C validator