Theorem coe1ae0 22182

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1ae0.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1ae0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1ae0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1ae0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1ae0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1ae0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1ae0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1ae0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	coe1fsupp 22180	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
8	7	elrab 3635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9	4	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
11		fsuppmapnn0ub 13959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
12	10, 11	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
13	12	impancom 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
14	8, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
15	6, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8775   finSupp cfsupp 9276   < clt 11181  ℕ₀cn0 12439  Basecbs 17181  0_gc0g 17404  Poly₁cpl1 22142  coe₁cco1 22143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-fz 13464  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-tset 17241  df-ple 17242  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22145  df-ply1 22147  df-coe1 22148

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22336  pmatcollpw1lem1  22741  ply1mulgsumlem1  48864