MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1ae0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1ae0 19947
Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1ae0.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1ae0.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1ae0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1ae0 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1ae0.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1ae0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1ae0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1ae0.z . . 3 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2826 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
61, 2, 3, 4, 5coe1fsupp 19945 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7 breq1 4877 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
87elrab 3586 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
94fvexi 6448 . . . . . 6 0 ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐹𝐵0 ∈ V)
11 fsuppmapnn0ub 13090 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1210, 11sylan2 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
1312impancom 445 . . 3 ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
148, 13sylbi 209 . 2 (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 )))
156, 14mpcom 38 1 (𝐹𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴𝑛) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119  {crab 3122  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  𝑚 cmap 8123   finSupp cfsupp 8545   < clt 10392  0cn0 11619  Basecbs 16223  0gc0g 16454  Poly1cpl1 19908  coe1cco1 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-tset 16325  df-ple 16326  df-psr 19718  df-mpl 19720  df-opsr 19722  df-psr1 19911  df-ply1 19913  df-coe1 19914
This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  20950  ply1mulgsumlem1  43022
  Copyright terms: Public domain W3C validator