Theorem coe1ae0 21669

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1ae0.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1ae0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1ae0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1ae0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1ae0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1ae0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1ae0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1ae0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	coe1fsupp 21667	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7		breq1 5144	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
8	7	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9	4	fvexi 6892	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
11		fsuppmapnn0ub 13942	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
12	10, 11	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
13	12	impancom 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
14	8, 13	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
15	6, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ↑_m cmap 8803   finSupp cfsupp 9344   < clt 11230  ℕ₀cn0 12454  Basecbs 17126  0_gc0g 17367  Poly₁cpl1 21630  coe₁cco1 21631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-ple 17199  df-psr 21393  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-ply1 21635  df-coe1 21636

This theorem is referenced by:  pmatcollpw1lem1  22205  evls1fpws  32489  ply1mulgsumlem1  46715