Theorem coe1ae0 22266

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1ae0.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1ae0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1ae0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1ae0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛,𝑠)   𝑃(𝑛,𝑠)   𝑅(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1ae0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1ae0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1ae0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1ae0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	coe1fsupp 22264	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
8	7	elrab 3649	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9	4	fvexi 6876	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
11		fsuppmapnn0ub 14002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
12	10, 11	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
13	12	impancom 455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
14	8, 13	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
15	6, 14	mpcom 38	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802   finSupp cfsupp 9301   < clt 11210  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  Poly₁cpl1 22227  coe₁cco1 22228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-tset 17296  df-ple 17297  df-psr 21949  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-ply1 22232  df-coe1 22233

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22420  pmatcollpw1lem1  22822  ply1mulgsumlem1  48969