Theorem coe1ae0 22405

Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is 0 almost everywhere. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1ae0.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1ae0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1ae0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1ae0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1ae0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑠   0 ,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛, 𝑠)   𝑃(𝑛, 𝑠)   𝑅(𝑛, 𝑠)   𝐹(𝑛, 𝑠)

Proof of Theorem coe1ae0

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1ae0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1ae0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1ae0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1ae0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	coe1fsupp 22403	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
7		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 finSupp 0 ↔ 𝐴 finSupp 0 ))
8	7	elrab 3652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
9	4	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 0 ∈ V)
11		fsuppmapnn0ub 14044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
12	10, 11	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
13	12	impancom 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ) → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
14	8, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑎 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑎 finSupp 0 } → (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 )))
15	6, 14	mpcom 39	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝐴‘𝑛) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826   finSupp cfsupp 9324   < clt 11254  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  Poly₁cpl1 22366  coe₁cco1 22367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-tset 17346  df-ple 17347  df-psr 22088  df-mpl 22090  df-opsr 22092  df-psr1 22369  df-ply1 22371  df-coe1 22372

This theorem is used by:  evls1fpws  22558  pmatcollpw1lem1  22960  ply1mulgsumlem1  49199