MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuccoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuccoval 17928
Description: Value of the functor category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
fucco.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
fucco.a ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
fucco.o ยท = (compโ€˜๐ท)
fucco.x โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
fucco.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
fucco.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
fuccoval.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ด)
Assertion
Ref Expression
fuccoval (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ((๐‘†โ€˜๐‘‹)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹))(๐‘…โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem fuccoval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . 3 ๐‘„ = (๐ถ FuncCat ๐ท)
2 fucco.n . . 3 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
3 fucco.a . . 3 ๐ด = (Baseโ€˜๐ถ)
4 fucco.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ท)
5 fucco.x . . 3 โˆ™ = (compโ€˜๐‘„)
6 fucco.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (๐น๐‘๐บ))
7 fucco.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (๐บ๐‘๐ป))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7fucco 17927 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))))
9 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
109fveq2d 6889 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹))
119fveq2d 6889 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹))
1210, 11opeq12d 4876 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ)
139fveq2d 6889 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹))
1412, 13oveq12d 7423 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹)))
159fveq2d 6889 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
169fveq2d 6889 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘‹))
1714, 15, 16oveq123d 7426 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘ฅ), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘‹)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹))(๐‘…โ€˜๐‘‹)))
18 fuccoval.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ด)
19 ovexd 7440 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘‹)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹))(๐‘…โ€˜๐‘‹)) โˆˆ V)
208, 17, 18, 19fvmptd 6999 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†(โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆ™ ๐ป)๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ((๐‘†โ€˜๐‘‹)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐ป)โ€˜๐‘‹))(๐‘…โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  Basecbs 17153  compcco 17218   Nat cnat 17904   FuncCat cfuc 17905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-func 17817  df-nat 17906  df-fuc 17907
This theorem is referenced by:  fuccocl  17929  fucass  17933  evlfcllem  18186  yonedalem3b  18244
  Copyright terms: Public domain W3C validator