Theorem fucoaltfunc 50696

Description: Post-compose functor composition with an object-fixing endofunctor of its target. The original object function remains literally fixed for arbitrary source and intermediate categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucoaltfunc.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fucoaltfunc.t	⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
fucoaltfunc.l	⊢ 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)
fucoaltfunc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucoaltfunc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fucoaltfunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
fucoaltfunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑄))
fucoaltfunc.i	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = ( I ↾ (𝐶 Func 𝐸)))

Assertion

Ref	Expression
fucoaltfunc	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(𝐾 ∘func 𝐿)))

Proof of Theorem fucoaltfunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucoaltfunc.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
2	1	fucbas 18167	. . 3 ⊢ (𝐶 Func 𝐸) = (Base‘𝑄)
3		fucoaltfunc.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)
4		fucoaltfunc.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
5		fucoaltfunc.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		fucoaltfunc.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		fucoaltfunc.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8	4, 1, 5, 6, 7	fucofunca 50687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))
9	3, 8	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝑇 Func 𝑄))
10		fucoaltfunc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑄 Func 𝑄))
11		fucoaltfunc.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾) = ( I ↾ (𝐶 Func 𝐸)))
12	2, 9, 10, 11	cofu1stfix 50417	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐾 ∘func 𝐿)) = (1st ‘𝐿))
13	9, 10	cofucl 18092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∘func 𝐿) ∈ (𝑇 Func 𝑄))
14	13	func1st2nd 50395	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐾 ∘func 𝐿))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(𝐾 ∘func 𝐿)))
15	12, 14	breq1dd 5124	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(𝐾 ∘func 𝐿)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1^st c1st 8023  2^nd c2nd 8024  Catccat 17867   Func cfunc 18058   ∘_func ccofu 18060   FuncCat cfuc 18149   ×_c cxpc 18371   ∘_F cfuco 50643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-func 18062  df-cofu 18064  df-nat 18150  df-fuc 18151  df-xpc 18375  df-fuco 50644

This theorem is used by:  fuconuniqlem  50986