Theorem fucofunca 49331

Description: The functor composition bifunctor is a functor. See also fucofunc 49330. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofunca.t	⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
fucofunca.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fucofunca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucofunca.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fucofunca.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucofunca	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Proof of Theorem fucofunca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucofunca.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		fucofunca.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		fucofunca.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
5	1, 2, 3, 4	fucoelvv 49291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V))
6		1st2nd2 8009	. . 3 ⊢ ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
8		fucofunca.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
9		fucofunca.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
10	8, 9, 7, 1, 2, 3	fucofunc 49330	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)))
11		df-br 5110	. . 3 ⊢ ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) ↔ ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
13	7, 12	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  Catccat 17631   Func cfunc 17822   FuncCat cfuc 17913   ×_c cxpc 18135   ∘_F cfuco 49287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-cofu 17828  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-xpc 18139  df-fuco 49288

This theorem is referenced by:  postcofval  49335  postcofcl  49336  precofval  49338  precofvalALT  49339  precofcl  49341