Theorem fucofunca 49105

Description: The functor composition bifunctor is a functor. See also fucofunc 49104. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofunca.t	⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
fucofunca.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fucofunca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucofunca.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fucofunca.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucofunca	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Proof of Theorem fucofunca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucofunca.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		fucofunca.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		fucofunca.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
5	1, 2, 3, 4	fucoelvv 49065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V))
6		1st2nd2 8035	. . 3 ⊢ ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
8		fucofunca.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
9		fucofunca.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
10	8, 9, 7, 1, 2, 3	fucofunc 49104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)))
11		df-br 5124	. . 3 ⊢ ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) ↔ ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
13	7, 12	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123   × cxp 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  Catccat 17679   Func cfunc 17871   FuncCat cfuc 17962   ×_c cxpc 18184   ∘_F cfuco 49061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-hom 17298  df-cco 17299  df-cat 17683  df-cid 17684  df-func 17875  df-cofu 17877  df-nat 17963  df-fuc 17964  df-xpc 18188  df-fuco 49062

This theorem is referenced by:  postcofval  49109  postcofcl  49110  precofval  49112  precofvalALT  49113  precofcl  49115