Theorem fucofunca 49345

Description: The functor composition bifunctor is a functor. See also fucofunc 49344. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofunca.t	⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
fucofunca.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fucofunca.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucofunca.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fucofunca.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
fucofunca	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Proof of Theorem fucofunca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fucofunca.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		fucofunca.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
3		fucofunca.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
4		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))
5	1, 2, 3, 4	fucoelvv 49305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V))
6		1st2nd2 7963	. . 3 ⊢ ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (V × V) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩)
8		fucofunca.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝐷 FuncCat 𝐸) ×c (𝐶 FuncCat 𝐷))
9		fucofunca.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
10	8, 9, 7, 1, 2, 3	fucofunc 49344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)))
11		df-br 5093	. . 3 ⊢ ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))(𝑇 Func 𝑄)(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)) ↔ ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸)), (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸))⟩ ∈ (𝑇 Func 𝑄))
13	7, 12	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∈ (𝑇 Func 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  2^nd c2nd 7923  Catccat 17570   Func cfunc 17761   FuncCat cfuc 17852   ×_c cxpc 18074   ∘_F cfuco 49301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-func 17765  df-cofu 17767  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-xpc 18078  df-fuco 49302

This theorem is referenced by:  postcofval  49349  postcofcl  49350  precofval  49352  precofvalALT  49353  precofcl  49355