Theorem fucterm 49783

Description: The category of functors to a terminal category is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsn.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucterm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fucterm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
fucterm	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

Proof of Theorem fucterm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		opex 5412	. . 3 ⊢ ⟨((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)), (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) × ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑦))))⟩ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)), (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) × ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑦))))⟩ ∈ V)
4		fucterm.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		fucterm.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) × ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑦)))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) × ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑦))))
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	functermc2 49750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = {⟨((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷)), (𝑥 ∈ (Base‘𝐶), 𝑦 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) × ((((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(((Base‘𝐶) × (Base‘𝐷))‘𝑦))))⟩})
13	5	termcthind 49719	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ThinCat)
14	1, 3, 12, 13	funcsn 49782	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17136  Hom chom 17188  Catccat 17587   FuncCat cfuc 17869  TermCatctermc 49713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-func 17782  df-nat 17870  df-fuc 17871  df-thinc 49659  df-termc 49714

This theorem is referenced by:  termfucterm  49785  cofuterm  49786