Theorem oppff1 49967

Description: The operation generating opposite functors is injective. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppff1.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppff1.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
oppff1	⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)

Proof of Theorem oppff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppffn 49943	. . . 4 ⊢ oppFunc Fn (V × V)
2		relfunc 17944	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
3		df-rel 5673	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐶 Func 𝐷) ↔ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V))
4	2, 3	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V)
5		fnssres 6665	. . . 4 ⊢ (( oppFunc Fn (V × V) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V)) → ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷)
7		fvres 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑓))
8		oppff1.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
9		oppff1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11	8, 9, 10	oppfoppc2 49961	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ( oppFunc ‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
12	7, 11	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
13	12	rgen 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)(( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃)
14		ffnfv 7121	. . 3 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)(( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃)))
15	6, 13, 14	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
16		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	16	fvresd 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑓))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
19	18	fvresd 6908	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) = ( oppFunc ‘𝑔))
20	17, 19	eqeq12d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) ↔ ( oppFunc ‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑔)))
21		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (( oppFunc ‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑔) → ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑓)) = ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑔)))
22	8, 9, 16	oppfoppc2 49961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( oppFunc ‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
23		relfunc 17944	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
24		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑓)
25	22, 23, 24	2oppf 49951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑓)) = 𝑓)
26	8, 9, 18	oppfoppc2 49961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( oppFunc ‘𝑔) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
27		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ( oppFunc ‘𝑔) = ( oppFunc ‘𝑔)
28	26, 23, 27	2oppf 49951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑔)) = 𝑔)
29	25, 28	eqeq12d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑓)) = ( oppFunc ‘( oppFunc ‘𝑔)) ↔ 𝑓 = 𝑔))
30	21, 29	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (( oppFunc ‘𝑓) = ( oppFunc ‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
31	20, 30	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
32	31	rgen2 3208	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)∀𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)((( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)
33		dff13 7259	. 2 ⊢ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) ↔ (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)∀𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)((( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
34	15, 32, 33	mpbir2an 724	1 ⊢ ( oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908   × cxp 5664   ↾ cres 5668  Rel wrel 5671   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  oppCatcoppc 17792   Func cfunc 17936   oppFunc coppf 49941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-oppc 17793  df-func 17940  df-oppf 49942

This theorem is used by:  oppff1o  49968  fucoppcid  50227