Theorem oppff1 49060

Description: The operation generating opposite functors is injective. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppff1.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppff1.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
oppff1	⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)

Proof of Theorem oppff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppffn 49041	. . . 4 ⊢ oppFunc Fn (V × V)
2		relfunc 17830	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
3		df-rel 5653	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐶 Func 𝐷) ↔ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V))
4	2, 3	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V)
5		fnssres 6649	. . . 4 ⊢ ((oppFunc Fn (V × V) ∧ (𝐶 Func 𝐷) ⊆ (V × V)) → (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷))
6	1, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷)
7		fvres 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (oppFunc‘𝑓))
8		oppff1.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
9		oppff1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
11	8, 9, 10	oppfoppc2 49054	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (oppFunc‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
12	7, 11	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
13	12	rgen 3048	. . 3 ⊢ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃)
14		ffnfv 7098	. . 3 ⊢ ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ↔ ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)) Fn (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃)))
15	6, 13, 14	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃)
16		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	16	fvresd 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = (oppFunc‘𝑓))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
19	18	fvresd 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) = (oppFunc‘𝑔))
20	17, 19	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) ↔ (oppFunc‘𝑓) = (oppFunc‘𝑔)))
21		fveq2 6865	. . . . 5 ⊢ ((oppFunc‘𝑓) = (oppFunc‘𝑔) → (oppFunc‘(oppFunc‘𝑓)) = (oppFunc‘(oppFunc‘𝑔)))
22	8, 9, 16	oppfoppc2 49054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (oppFunc‘𝑓) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
23		relfunc 17830	. . . . . . 7 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
24		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (oppFunc‘𝑓) = (oppFunc‘𝑓)
25	22, 23, 24	2oppf 49049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (oppFunc‘(oppFunc‘𝑓)) = 𝑓)
26	8, 9, 18	oppfoppc2 49054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (oppFunc‘𝑔) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
27		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (oppFunc‘𝑔) = (oppFunc‘𝑔)
28	26, 23, 27	2oppf 49049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (oppFunc‘(oppFunc‘𝑔)) = 𝑔)
29	25, 28	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((oppFunc‘(oppFunc‘𝑓)) = (oppFunc‘(oppFunc‘𝑔)) ↔ 𝑓 = 𝑔))
30	21, 29	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ((oppFunc‘𝑓) = (oppFunc‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
31	20, 30	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
32	31	rgen2 3179	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)∀𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)(((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)
33		dff13 7236	. 2 ⊢ ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃) ↔ ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)⟶(𝑂 Func 𝑃) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)∀𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷)(((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑓) = ((oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
34	15, 32, 33	mpbir2an 711	1 ⊢ (oppFunc ↾ (𝐶 Func 𝐷)):(𝐶 Func 𝐷)–1-1→(𝑂 Func 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046  Vcvv 3455   ⊆ wss 3922   × cxp 5644   ↾ cres 5648  Rel wrel 5651   Fn wfn 6514  ⟶wf 6515  –1-1→wf1 6516  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  oppCatcoppc 17678   Func cfunc 17822  oppFunccoppf 49039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-map 8805  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-oppc 17679  df-func 17826  df-oppf 49040

This theorem is referenced by:  oppff1o  49061