Theorem fwddifn0 35793

Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifn0	⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12525	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		fwddifn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
4		fwddifn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		fwddifn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3, 5	sseldd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		0z 12607	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzsn 13583	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
10	9	eleq2i 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11		velsn 4648	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
12	10, 11	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
14	13	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
15	6	addridd 11452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
16	15, 5	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
17	16	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
19	12, 18	sylan2b 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
20	2, 3, 4, 6, 19	fwddifnval 35792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
21	15	fveq2d 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹‘𝑋))
22	21	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
23	4, 5	ffvelcdmd 7100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
24	23	mullidd 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹‘𝑋))
26	25	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
27	26, 24	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹‘𝑋))
28	27, 23	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30		bcnn 14311	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) = 1
32	29, 31	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33		oveq2 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34		0m0e0 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
36	35	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37		neg1cn 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
38		exp0 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑0) = 1
40	36, 39	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
41	13	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
42	40, 41	oveq12d 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
43	32, 42	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
44	43	fsum1 15733	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
45	7, 28, 44	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
46	45, 27	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹‘𝑋))
47	20, 46	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   − cmin 11482  -cneg 11483  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ...cfz 13524  ↑cexp 14066  Ccbc 14301  Σcsu 15672   △ⁿ cfwddifn 35789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-fwddifn 35790

This theorem is referenced by: (None)