Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifn0 34802
Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifn0.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifn0.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifn0.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifn0 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem fwddifn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12436 . . . 4 0 ∈ β„•0
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3 fwddifn0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4 fwddifn0.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 fwddifn0.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
63, 5sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7 0z 12518 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
8 fzsn 13492 . . . . . . 7 (0 ∈ β„€ β†’ (0...0) = {0})
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (0...0) = {0}
109eleq2i 2826 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ ∈ {0})
11 velsn 4606 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
1210, 11bitri 275 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ = 0)
13 oveq2 7369 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
1413adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
156addridd 11363 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
1615, 5eqeltrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1814, 17eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
1912, 18sylan2b 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
202, 3, 4, 6, 19fwddifnval 34801 . 2 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
2115fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 0)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2221oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
234, 5ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
2423mullidd 11181 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2625oveq2d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
2726, 24eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2827, 23eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚)
29 oveq2 7369 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = (0C0))
30 bcnn 14221 . . . . . . . 8 (0 ∈ β„•0 β†’ (0C0) = 1)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (0C0) = 1
3229, 31eqtrdi 2789 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = 1)
33 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = (0 βˆ’ 0))
34 0m0e0 12281 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = 0)
3635oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑0))
37 neg1cn 12275 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
38 exp0 13980 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑0) = 1)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-1↑0) = 1
4036, 39eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = 1)
4113fveq2d 6850 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))
4240, 41oveq12d 7379 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))))
4332, 42oveq12d 7379 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ ((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4443fsum1 15640 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
457, 28, 44sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4645, 27eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
4720, 46eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  ...cfz 13433  β†‘cexp 13976  Ccbc 14211  Ξ£csu 15579   β–³n cfwddifn 34798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-fwddifn 34799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator