Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifn0 33750
 Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifn0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3 (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifn0 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11902 . . . 4 0 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3 fwddifn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4 fwddifn0.2 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 fwddifn0.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
63, 5sseldd 3916 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 0z 11982 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
8 fzsn 12946 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (0...0) = {0}
109eleq2i 2881 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11 velsn 4541 . . . . 5 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
1210, 11bitri 278 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13 oveq2 7143 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
156addid1d 10831 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1615, 5eqeltrd 2890 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1716adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1814, 17eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
1912, 18sylan2b 596 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
202, 3, 4, 6, 19fwddifnval 33749 . 2 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
2115fveq2d 6649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹𝑋))
2221oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹𝑋)))
234, 5ffvelrnd 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
2423mulid2d 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
2522, 24eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹𝑋))
2625oveq2d 7151 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹𝑋)))
2726, 24eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹𝑋))
2827, 23eqeltrd 2890 . . . 4 (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30 bcnn 13670 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (0C0) = 1
3229, 31eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33 oveq2 7143 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34 0m0e0 11747 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
3635oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37 neg1cn 11741 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
38 exp0 13431 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-1↑0) = 1
4036, 39eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
4113fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
4240, 41oveq12d 7153 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
4332, 42oveq12d 7153 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
4443fsum1 15096 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
457, 28, 44sylancr 590 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
4645, 27eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹𝑋))
4720, 46eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   · cmul 10533   − cmin 10861  -cneg 10862  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ...cfz 12887  ↑cexp 13427  Ccbc 13660  Σcsu 15036   △n cfwddifn 33746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-fwddifn 33747 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator