Theorem fwddifn0 36637

Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifn0	⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		fwddifn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
4		fwddifn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		fwddifn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3, 5	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		0z 12603	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzsn 13596	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
10	9	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11		velsn 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
12	10, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
15	6	addridd 11411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
16	15, 5	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
19	12, 18	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
20	2, 3, 4, 6, 19	fwddifnval 36636	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
21	15	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹‘𝑋))
22	21	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
23	4, 5	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
24	23	mullidd 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹‘𝑋))
26	25	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
27	26, 24	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹‘𝑋))
28	27, 23	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30		bcnn 14350	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) = 1
32	29, 31	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34		0m0e0 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
36	35	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37		neg1cn 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
38		exp0 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑0) = 1
40	36, 39	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
41	13	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
42	40, 41	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
43	32, 42	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
44	43	fsum1 15800	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
45	7, 28, 44	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
46	45, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹‘𝑋))
47	20, 46	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  -cneg 11443  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Ccbc 14340  Σcsu 15739   △ⁿ cfwddifn 36633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-fwddifn 36634

This theorem is referenced by: (None)