Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifn0 35793
Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifn0.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifn0.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifn0.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifn0 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem fwddifn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12525 . . . 4 0 ∈ β„•0
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3 fwddifn0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4 fwddifn0.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 fwddifn0.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
63, 5sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7 0z 12607 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
8 fzsn 13583 . . . . . . 7 (0 ∈ β„€ β†’ (0...0) = {0})
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (0...0) = {0}
109eleq2i 2821 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ ∈ {0})
11 velsn 4648 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
1210, 11bitri 274 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ = 0)
13 oveq2 7434 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
1413adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
156addridd 11452 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
1615, 5eqeltrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1716adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1814, 17eqeltrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
1912, 18sylan2b 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
202, 3, 4, 6, 19fwddifnval 35792 . 2 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
2115fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 0)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2221oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
234, 5ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
2423mullidd 11270 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2625oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
2726, 24eqtrd 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2827, 23eqeltrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚)
29 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = (0C0))
30 bcnn 14311 . . . . . . . 8 (0 ∈ β„•0 β†’ (0C0) = 1)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (0C0) = 1
3229, 31eqtrdi 2784 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = 1)
33 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = (0 βˆ’ 0))
34 0m0e0 12370 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = 0)
3635oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑0))
37 neg1cn 12364 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
38 exp0 14070 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑0) = 1)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-1↑0) = 1
4036, 39eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = 1)
4113fveq2d 6906 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))
4240, 41oveq12d 7444 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))))
4332, 42oveq12d 7444 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ ((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4443fsum1 15733 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
457, 28, 44sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4645, 27eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
4720, 46eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  ...cfz 13524  β†‘cexp 14066  Ccbc 14301  Ξ£csu 15672   β–³n cfwddifn 35789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-fwddifn 35790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator