Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifn0 35668
Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifn0.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifn0.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifn0.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifn0 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem fwddifn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12488 . . . 4 0 ∈ β„•0
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3 fwddifn0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4 fwddifn0.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 fwddifn0.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
63, 5sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7 0z 12570 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
8 fzsn 13546 . . . . . . 7 (0 ∈ β„€ β†’ (0...0) = {0})
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 (0...0) = {0}
109eleq2i 2819 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ ∈ {0})
11 velsn 4639 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {0} ↔ π‘˜ = 0)
1210, 11bitri 275 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...0) ↔ π‘˜ = 0)
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
1413adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) = (𝑋 + 0))
156addridd 11415 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) = 𝑋)
1615, 5eqeltrd 2827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1716adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
1814, 17eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 0) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
1912, 18sylan2b 593 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
202, 3, 4, 6, 19fwddifnval 35667 . 2 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
2115fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 0)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2221oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
234, 5ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
2423mullidd 11233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)) = (πΉβ€˜π‘‹))
2522, 24eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2625oveq2d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘‹)))
2726, 24eqtrd 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
2827, 23eqeltrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚)
29 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = (0C0))
30 bcnn 14274 . . . . . . . 8 (0 ∈ β„•0 β†’ (0C0) = 1)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . 7 (0C0) = 1
3229, 31eqtrdi 2782 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (0Cπ‘˜) = 1)
33 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = (0 βˆ’ 0))
34 0m0e0 12333 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
3533, 34eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (0 βˆ’ π‘˜) = 0)
3635oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑0))
37 neg1cn 12327 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
38 exp0 14033 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ β„‚ β†’ (-1↑0) = 1)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (-1↑0) = 1
4036, 39eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) = 1)
4113fveq2d 6888 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))
4240, 41oveq12d 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))) = (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0))))
4332, 42oveq12d 7422 . . . . 5 (π‘˜ = 0 β†’ ((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4443fsum1 15696 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
457, 28, 44sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (1 Β· (1 Β· (πΉβ€˜(𝑋 + 0)))))
4645, 27eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)((0Cπ‘˜) Β· ((-1↑(0 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) = (πΉβ€˜π‘‹))
4720, 46eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ((0 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  ...cfz 13487  β†‘cexp 14029  Ccbc 14264  Ξ£csu 15635   β–³n cfwddifn 35664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-fwddifn 35665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator