Theorem fwddifn0 36522

Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifn0	⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12507	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		fwddifn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
4		fwddifn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		fwddifn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3, 5	sseldd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		0z 12590	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzsn 13582	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
10	9	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11		velsn 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
12	10, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
15	6	addridd 11398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
16	15, 5	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
19	12, 18	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
20	2, 3, 4, 6, 19	fwddifnval 36521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
21	15	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹‘𝑋))
22	21	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
23	4, 5	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
24	23	mullidd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹‘𝑋))
26	25	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
27	26, 24	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹‘𝑋))
28	27, 23	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30		bcnn 14336	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) = 1
32	29, 31	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34		0m0e0 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
36	35	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37		neg1cn 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
38		exp0 14089	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑0) = 1
40	36, 39	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
41	13	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
42	40, 41	oveq12d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
43	32, 42	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
44	43	fsum1 15786	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
45	7, 28, 44	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
46	45, 27	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹‘𝑋))
47	20, 46	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ...cfz 13523  ↑cexp 14085  Ccbc 14326  Σcsu 15725   △ⁿ cfwddifn 36518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-fwddifn 36519

This theorem is referenced by: (None)