Theorem fwddifn0 36909

Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifn0	⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12614	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		fwddifn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
4		fwddifn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		fwddifn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3, 5	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		0z 12697	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzsn 13693	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
10	9	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11		velsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
12	10, 11	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
15	6	addridd 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
16	15, 5	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
19	12, 18	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
20	2, 3, 4, 6, 19	fwddifnval 36908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
21	15	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹‘𝑋))
22	21	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
23	4, 5	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
24	23	mullidd 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹‘𝑋))
26	25	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
27	26, 24	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹‘𝑋))
28	27, 23	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30		bcnn 14449	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) = 1
32	29, 31	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33		oveq2 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34		0m0e0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
36	35	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37		neg1cn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
38		exp0 14201	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑0) = 1
40	36, 39	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
41	13	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
42	40, 41	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
43	32, 42	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
44	43	fsum1 15906	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
45	7, 28, 44	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
46	45, 27	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹‘𝑋))
47	20, 46	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ↑cexp 14197  Ccbc 14439  Σcsu 15846   △ⁿ cfwddifn 36905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-fwddifn 36906

This theorem is used by: (None)