Theorem fwddifn0 33152

Description: The value of the n-iterated forward difference operator at zero is just the function value. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fwddifn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
fwddifn0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
fwddifn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fwddifn0	⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem fwddifn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11724	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		fwddifn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
4		fwddifn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		fwddifn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3, 5	sseldd 3859	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		0z 11804	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzsn 12765	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
10	9	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 ∈ {0})
11		velsn 4457	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
12	10, 11	bitri 267	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) ↔ 𝑘 = 0)
13		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
14	13	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) = (𝑋 + 0))
15	6	addid1d 10640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
16	15, 5	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
17	16	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 0) ∈ 𝐴)
18	14, 17	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
19	12, 18	sylan2b 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑋 + 𝑘) ∈ 𝐴)
20	2, 3, 4, 6, 19	fwddifnval 33151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))))
21	15	fveq2d 6503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + 0)) = (𝐹‘𝑋))
22	21	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
23	4, 5	ffvelrnd 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
24	23	mulid2d 10458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
25	22, 24	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))) = (𝐹‘𝑋))
26	25	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
27	26, 24	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) = (𝐹‘𝑋))
28	27, 23	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ)
29		oveq2 6984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
30		bcnn 13487	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) = 1
32	29, 31	syl6eq 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
33		oveq2 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
34		0m0e0 11567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
35	33, 34	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
36	35	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = (-1↑0))
37		neg1cn 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
38		exp0 13248	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (-1↑0) = 1
40	36, 39	syl6eq 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑(0 − 𝑘)) = 1)
41	13	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)) = (𝐹‘(𝑋 + 0)))
42	40, 41	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘))) = (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0))))
43	32, 42	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
44	43	fsum1 14962	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
45	7, 28, 44	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (1 · (1 · (𝐹‘(𝑋 + 0)))))
46	45, 27	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · ((-1↑(0 − 𝑘)) · (𝐹‘(𝑋 + 𝑘)))) = (𝐹‘𝑋))
47	20, 46	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((0 △n 𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3829  {csn 4441  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670  -cneg 10671  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ...cfz 12708  ↑cexp 13244  Ccbc 13477  Σcsu 14903   △n cfwddifn 33148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-fwddifn 33149

This theorem is referenced by: (None)