Theorem gsummptp1 33133

Description: Reindex a zero-based sum as a one-base sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptp1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummptp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
gsummptp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptp1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptp1.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptp1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcsb1v 3862	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌
2		gsummptp1.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		csbeq1a 3852	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + 1) → 𝑌 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)
5		gsummptp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 13926	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptp1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummptp1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		fz0add1fz1 13681	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
11	9, 10	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
12		fz1fzo0m1 13656	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑙 = (𝑘 + 1))
15		elfzonn0 13653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12491	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
18		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19		elfznn 13498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ)
20	19	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	17, 18, 21	addlsub 11557	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
23	14, 22	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 = (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
24	13, 23	reu6dv 32557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑙 = (𝑘 + 1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 24	gsummptf1o 19929	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)))
26		gsummptp1.5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)
27	11, 26	csbied 3874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌 = 𝑋)
28	27	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋))
29	28	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)))
30	25, 29	eqtr2d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3838   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  Basecbs 17170  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  vietalem  33738