Theorem gsummptp1 33400

Description: Reindex a zero-based sum as a one-base sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptp1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummptp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
gsummptp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptp1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptp1.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptp1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcsb1v 3878	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌
2		gsummptp1.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		csbeq1a 3868	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + 1) → 𝑌 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)
5		gsummptp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 14022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptp1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummptp1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		fz0add1fz1 13776	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
11	9, 10	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
12		fz1fzo0m1 13751	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑙 = (𝑘 + 1))
15		elfzonn0 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12578	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
18		1cnd 11213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19		elfznn 13593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ)
20	19	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	17, 18, 21	addlsub 11641	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
23	14, 22	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 = (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
24	13, 23	reu6dv 32848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑙 = (𝑘 + 1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 24	gsummptf1o 20056	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)))
26		gsummptp1.5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)
27	11, 26	csbied 3890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌 = 𝑋)
28	27	mpteq2dva 5206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋))
29	28	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)))
30	25, 29	eqtr2d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⦋csb 3854   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ...cfz 13546  ..^cfzo 13694  Basecbs 17286  0_gc0g 17509   Σ_g cgsu 17510  CMndccmn 19873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-cntz 19410  df-cmn 19875

This theorem is used by:  vietalem  33992