Theorem gsummptp1 33497

Description: Reindex a zero-based sum as a one-base sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptp1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummptp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
gsummptp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptp1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptp1.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptp1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcsb1v 3871	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌
2		gsummptp1.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		csbeq1a 3861	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + 1) → 𝑌 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)
5		gsummptp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 14037	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptp1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummptp1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		fz0add1fz1 13791	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
11	9, 10	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
12		fz1fzo0m1 13766	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑙 = (𝑘 + 1))
15		elfzonn0 13763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
18		1cnd 11226	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19		elfznn 13608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ)
20	19	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12273	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	17, 18, 21	addlsub 11654	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
23	14, 22	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 = (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
24	13, 23	reu6dv 32948	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑙 = (𝑘 + 1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 24	gsummptf1o 20090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)))
26		gsummptp1.5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)
27	11, 26	csbied 3883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌 = 𝑋)
28	27	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋))
29	28	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)))
30	25, 29	eqtr2d 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  Basecbs 17301  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  vietalem  34089