Theorem gsummptp1 33198

Description: Reindex a zero-based sum as a one-base sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptp1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummptp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
gsummptp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptp1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptp1.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptp1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcsb1v 3874	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌
2		gsummptp1.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		csbeq1a 3864	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + 1) → 𝑌 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)
5		gsummptp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 13980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptp1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummptp1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		fz0add1fz1 13735	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
11	9, 10	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
12		fz1fzo0m1 13710	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	12	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑙 = (𝑘 + 1))
15		elfzonn0 13707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
18		1cnd 11169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19		elfznn 13552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ)
20	19	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12220	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	17, 18, 21	addlsub 11597	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
23	14, 22	bitr3id 287	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 = (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
24	13, 23	reu6dv 32631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑙 = (𝑘 + 1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 24	gsummptf1o 19994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)))
26		gsummptp1.5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)
27	11, 26	csbied 3886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌 = 𝑋)
28	27	mpteq2dva 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋))
29	28	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)))
30	25, 29	eqtr2d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⦋csb 3850   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653  Basecbs 17236  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  CMndccmn 19811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cntz 19348  df-cmn 19813

This theorem is referenced by:  vietalem  33837