Theorem gsummptp1 33140

Description: Reindex a zero-based sum as a one-base sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptp1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummptp1.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
gsummptp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptp1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptp1.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
gsummptp1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑋,𝑙   𝑘,𝑌   𝑘,𝑙,𝜑

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑙)

Proof of Theorem gsummptp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcsb1v 3873	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑙⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌
2		gsummptp1.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		csbeq1a 3863	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝑘 + 1) → 𝑌 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)
5		gsummptp1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 13896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7		ssidd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
8		gsummptp1.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummptp1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		fz0add1fz1 13651	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
11	9, 10	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
12		fz1fzo0m1 13626	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → (𝑙 − 1) ∈ (0..^𝑁))
14		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑙 = (𝑘 + 1))
15		elfzonn0 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12464	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
18		1cnd 11127	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19		elfznn 13469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ (1...𝑁) → 𝑙 ∈ ℕ)
20	19	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑙 ∈ ℂ)
22	17, 18, 21	addlsub 11553	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) = 𝑙 ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
23	14, 22	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 = (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 = (𝑙 − 1)))
24	13, 23	reu6dv 32547	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑙 = (𝑘 + 1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 24	gsummptf1o 19892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)))
26		gsummptp1.5	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑙 = (𝑘 + 1)) → 𝑌 = 𝑋)
27	11, 26	csbied 3885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌 = 𝑋)
28	27	mpteq2dva 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋))
29	28	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑙⦌𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)))
30	25, 29	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑋)) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3849   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  Basecbs 17136  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  CMndccmn 19709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-cntz 19246  df-cmn 19711

This theorem is referenced by:  vietalem  33735