Theorem gsummptf1od 33196

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptf1od.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐻
gsummptf1od.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1od.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptf1od.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
gsummptf1od.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1od.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1od.d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
gsummptf1od.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
gsummptf1od.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
gsummptf1od.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummptf1od	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1od

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptf1od.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptf1od.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptf1od.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptf1od.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
5		gsummptf1od.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
7		gsummptf1od.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐹)
8	6, 7	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶𝐵)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
11	2	fvexi 6876	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
13	10, 4, 8, 12	fsuppmptdm 9316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) finSupp 0 )
14		gsummptf1od.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ 𝐴)
15	14	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴)
16		gsummptf1od.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
17	16	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸)
18		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)
19	18	f1ompt 7087	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝐸 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝐸))
20	15, 17, 19	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸):𝐷–1-1-onto→𝐴)
21	1, 2, 3, 4, 9, 13, 20	gsumf1o 19947	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))))
22		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))
23		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
24	15, 22, 23	fmptcos 7108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶))
25		nfv 1933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)
26		gsummptf1od.x	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Ⅎ𝑥𝐻)
28		gsummptf1od.i	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
29	25, 27, 14, 28	csbiedf 3880	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐻)
30	29	mpteq2dva 5190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ⦋𝐸 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
31	24, 30	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻))
32	31	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∘ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))
33	21, 32	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075  ∃!wreu 3364  Vcvv 3453  ⦋csb 3850   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5647  –1-1-onto→wf1o 6515  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  Basecbs 17236  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  CMndccmn 19811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cntz 19348  df-cmn 19813

This theorem is referenced by:  gsummptrev  33197