Theorem rusgrpropnb 27643

Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrpropnb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrpropnb	⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem rusgrpropnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrpropnb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3	1, 2	rusgrprop0 27627	. 2 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
4		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph)
5		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
6	1	hashnbusgrvd 27588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
7	6	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
8		eqeq2 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)))
9	8	eqcoms 2742	. . . . . 6 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ↔ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)))
10	7, 9	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
11	10	ralimdva 3093	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
12	11	3impia 1119	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
13	4, 5, 12	3jca 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
14	3, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℕ₀^*cxnn0 12145  ♯chash 13879  Vtxcvtx 27059  USGraphcusgr 27212   NeighbVtx cnbgr 27392  VtxDegcvtxdg 27525   RegUSGraph crusgr 27616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-xadd 12688  df-fz 13079  df-hash 13880  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-ushgr 27122  df-upgr 27145  df-umgr 27146  df-uspgr 27213  df-usgr 27214  df-nbgr 27393  df-vtxdg 27526  df-rgr 27617  df-rusgr 27618

This theorem is referenced by:  rusgrpropedg  27644  rusgrpropadjvtx  27645  rusgr1vtx  27648  numclwwlk1  28416