MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrpropnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrpropnb 29371
Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrpropnb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
rusgrpropnb (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem rusgrpropnb
StepHypRef Expression
1 rusgrpropnb.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . 3 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
31, 2rusgrprop0 29355 . 2 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
4 simp1 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
5 simp2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0*)
61hashnbusgrvd 29316 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
76adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0*) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
8 eqeq2 2739 . . . . . . 7 (𝐾 = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) β†’ ((β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ↔ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
98eqcoms 2735 . . . . . 6 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ ((β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ↔ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
107, 9syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0*) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
1110ralimdva 3162 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0*) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
12113impia 1115 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
134, 5, 123jca 1126 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
143, 13syl 17 1 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„•0*cxnn0 12560  β™―chash 14307  Vtxcvtx 28783  USGraphcusgr 28936   NeighbVtx cnbgr 29119  VtxDegcvtxdg 29253   RegUSGraph crusgr 29344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-xadd 13111  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-ushgr 28846  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-nbgr 29120  df-vtxdg 29254  df-rgr 29345  df-rusgr 29346
This theorem is referenced by:  rusgrpropedg  29372  rusgrpropadjvtx  29373  rusgr1vtx  29376  numclwwlk1  30145
  Copyright terms: Public domain W3C validator