Theorem mapdh8a 40015

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8a.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8a.a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8a.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8a.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8a.xt	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8a.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh8a.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh8a.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh8a.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh8a.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh8a.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh8a.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh8a.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh8a.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh8a.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh8a.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh8a.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh8a.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh8a.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh8a.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh8a.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh8a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh8a.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh8a.xt	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8a.xn	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
21		mapdh8a.yz	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
22		mapdh8a.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
23		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	mapdheq4 39972	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3440   ∖ cdif 3893  ifcif 4470  {csn 4570  {cpr 4572  ⟨cotp 4578   ↦ cmpt 5169  ‘cfv 6465  ℩crio 7272  (class class class)co 7316  1^st c1st 7875  2^nd c2nd 7876  Basecbs 16986  0_gc0g 17224  -_gcsg 18652  LSpanclspn 20313  HLchlt 37589  LHypclh 38224  DVecHcdvh 39318  LCDualclcd 39826  mapdcmpd 39864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-riotaBAD 37192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-tpos 8090  df-undef 8137  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-0g 17226  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-proset 18087  df-poset 18105  df-plt 18122  df-lub 18138  df-glb 18139  df-join 18140  df-meet 18141  df-p0 18217  df-p1 18218  df-lat 18224  df-clat 18291  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-subg 18825  df-cntz 18996  df-oppg 19023  df-lsm 19314  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-invr 19986  df-dvr 19997  df-drng 20069  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-lsp 20314  df-lvec 20445  df-lsatoms 37215  df-lshyp 37216  df-lcv 37258  df-lfl 37297  df-lkr 37325  df-ldual 37363  df-oposet 37415  df-ol 37417  df-oml 37418  df-covers 37505  df-ats 37506  df-atl 37537  df-cvlat 37561  df-hlat 37590  df-llines 37738  df-lplanes 37739  df-lvols 37740  df-lines 37741  df-psubsp 37743  df-pmap 37744  df-padd 38036  df-lhyp 38228  df-laut 38229  df-ldil 38344  df-ltrn 38345  df-trl 38399  df-tgrp 38983  df-tendo 38995  df-edring 38997  df-dveca 39243  df-disoa 39269  df-dvech 39319  df-dib 39379  df-dic 39413  df-dih 39469  df-doch 39588  df-djh 39635  df-lcdual 39827  df-mapd 39865

This theorem is referenced by:  mapdh8aa  40016  mapdh8b  40020  mapdh8d0N  40022  mapdh8d  40023  mapdh8g  40025