Theorem hlhilsbase2 39072

Description: The scalar base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilsbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsbase2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsbase2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilsbase2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsbase2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
2		hlhilsbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		hlhilsbase.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilsbase.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilsbase.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
7	3, 4, 5, 6	dvhsca 38212	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
9	8	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
10	1, 9	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
11		hlhilsbase.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
12		hlhilsbase.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
14	3, 4, 11, 12, 2, 13	hlhilsbase 39069	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  HLchlt 36480  LHypclh 37114  EDRingcedring 37883  DVecHcdvh 38208  HLHilchlh 39062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-dvech 38209  df-hlhil 39063

This theorem is referenced by:  hlhils0  39075  hlhils1N  39076  hlhillvec  39081  hlhilsrnglem  39083  hlhilphllem  39089