Theorem hlhilsplus2 41344

Description: Scalar addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilsbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsplus2.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsplus2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilsplus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsplus2.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
2		hlhilsbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		hlhilsbase.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilsbase.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilsbase.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
7	3, 4, 5, 6	dvhsca 40479	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
9	8	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
10	1, 9	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
11		hlhilsbase.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
12		hlhilsbase.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13		eqid 2727	. . 3 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
14	3, 4, 11, 12, 2, 13	hlhilsplus 41339	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  +_gcplusg 17218  Scalarcsca 17221  HLchlt 38746  LHypclh 39381  EDRingcedring 40150  DVecHcdvh 40475  HLHilchlh 41329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-dvech 40476  df-hlhil 41330

This theorem is referenced by:  hlhils0  41346  hlhillvec  41352  hlhilsrnglem  41354  hlhilphllem  41360