Theorem hlhilsplus2 41472

Description: Scalar addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhilsbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilsbase.l	⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
hlhilsbase.u	⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hlhilsbase.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hlhilsplus2.a	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
hlhilsplus2	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))

Proof of Theorem hlhilsplus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhilsplus2.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
2		hlhilsbase.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		hlhilsbase.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		hlhilsbase.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		hlhilsbase.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐿)
7	3, 4, 5, 6	dvhsca 40607	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
9	8	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑆) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
10	1, 9	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
11		hlhilsbase.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
12		hlhilsbase.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
13		eqid 2725	. . 3 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
14	3, 4, 11, 12, 2, 13	hlhilsplus 41467	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230  HLchlt 38874  LHypclh 39509  EDRingcedring 40278  DVecHcdvh 40603  HLHilchlh 41457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-dvech 40604  df-hlhil 41458

This theorem is referenced by:  hlhils0  41474  hlhillvec  41480  hlhilsrnglem  41482  hlhilphllem  41488