Theorem knoppndvlem1 37101

Description: Lemma for knoppndv 37123. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem1	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nnz 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 12695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		2ne0 12342	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12		0red 11206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13		1red 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		nnge1 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
18	12, 13, 6, 15, 17	ltletrd 11365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19	12, 18	ltned 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
20	19	necomd 3013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	mulne0d 11861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22		knoppndvlem1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	7, 21, 23	reexpclzd 14281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
25	24, 2, 11	redivcld 12038	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26		knoppndvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zred 12695	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
28	25, 27	remulcld 11234	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239  -cneg 11437   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  37106  knoppndvlem7  37107  knoppndvlem10  37110  knoppndvlem14  37114  knoppndvlem15  37115  knoppndvlem17  37117