Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem1 33844
Description: Lemma for knoppndv 33866. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1
StepHypRef Expression
1 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 nnz 11996 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zred 12079 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
72, 6remulcld 10663 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
82recnd 10661 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
96recnd 10661 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
10 2ne0 11733 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
12 0red 10636 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13 1red 10634 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11154 . . . . . . . . 9 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
16 nnge1 11657 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
173, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
1812, 13, 6, 15, 17ltletrd 10792 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
1912, 18ltned 10768 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
2019necomd 3069 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
218, 9, 11, 20mulne0d 11284 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22 knoppndvlem1.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 12081 . . . 4 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
247, 21, 23reexpclzd 13602 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
2524, 2, 11redivcld 11460 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26 knoppndvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zred 12079 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2825, 27remulcld 10663 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 3014   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  cz 11973  cexp 13421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  33849  knoppndvlem7  33850  knoppndvlem10  33853  knoppndvlem14  33857  knoppndvlem15  33858  knoppndvlem17  33860
  Copyright terms: Public domain W3C validator