Theorem knoppndvlem1 37593

Description: Lemma for knoppndv 37615. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem1	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12457	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nnz 12754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		2ne0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12		0red 11350	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13		1red 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11878	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		nnge1 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
17	3, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
18	12, 13, 6, 15, 17	ltletrd 11509	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19	12, 18	ltned 11485	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
20	19	necomd 3014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	mulne0d 12008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22		knoppndvlem1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	7, 21, 23	reexpclzd 14434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℝ)
25	24, 2, 11	redivcld 12185	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26		knoppndvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zred 12843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
28	25, 27	remulcld 11378	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℤcz 12733  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  knoppndvlem6  37598  knoppndvlem7  37599  knoppndvlem10  37602  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem15  37607  knoppndvlem17  37609