Theorem knoppndvlem1 36473

Description: Lemma for knoppndv 36495. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem1	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nnz 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 12614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 11180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		2ne0 12266	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12		0red 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		nnge1 12190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
18	12, 13, 6, 15, 17	ltletrd 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19	12, 18	ltned 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
20	19	necomd 2980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	mulne0d 11806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22		knoppndvlem1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	7, 21, 23	reexpclzd 14190	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
25	24, 2, 11	redivcld 11986	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26		knoppndvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zred 12614	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
28	25, 27	remulcld 11180	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤcz 12505  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36478  knoppndvlem7  36479  knoppndvlem10  36482  knoppndvlem14  36486  knoppndvlem15  36487  knoppndvlem17  36489