Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem1 36495
Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zred 12720 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
72, 6remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
82recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
96recnd 11287 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
10 2ne0 12368 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
12 0red 11262 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13 1red 11260 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11783 . . . . . . . . 9 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
16 nnge1 12292 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
173, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
1812, 13, 6, 15, 17ltletrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
1912, 18ltned 11395 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
2019necomd 2994 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
218, 9, 11, 20mulne0d 11913 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22 knoppndvlem1.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 12722 . . . 4 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
247, 21, 23reexpclzd 14285 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
2524, 2, 11redivcld 12093 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26 knoppndvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zred 12720 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2825, 27remulcld 11289 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36500  knoppndvlem7  36501  knoppndvlem10  36504  knoppndvlem14  36508  knoppndvlem15  36509  knoppndvlem17  36511
  Copyright terms: Public domain W3C validator