Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem1 35987
Description: Lemma for knoppndv 36009. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1
StepHypRef Expression
1 2re 12317 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 nnz 12610 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zred 12697 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
72, 6remulcld 11275 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
82recnd 11273 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
96recnd 11273 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
10 2ne0 12347 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
12 0red 11248 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13 1red 11246 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 11767 . . . . . . . . 9 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
16 nnge1 12271 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
173, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
1812, 13, 6, 15, 17ltletrd 11405 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
1912, 18ltned 11381 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
2019necomd 2993 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
218, 9, 11, 20mulne0d 11897 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22 knoppndvlem1.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 12699 . . . 4 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
247, 21, 23reexpclzd 14244 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
2524, 2, 11redivcld 12073 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26 knoppndvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zred 12697 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2825, 27remulcld 11275 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  wne 2937   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144   < clt 11279  cle 11280  -cneg 11476   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  cz 12589  cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  35992  knoppndvlem7  35993  knoppndvlem10  35996  knoppndvlem14  36000  knoppndvlem15  36001  knoppndvlem17  36003
  Copyright terms: Public domain W3C validator