Theorem knoppndvlem1 36513

Description: Lemma for knoppndv 36535. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem1	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nnz 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 12722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12		0red 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13		1red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		nnge1 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
18	12, 13, 6, 15, 17	ltletrd 11421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19	12, 18	ltned 11397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
20	19	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	mulne0d 11915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22		knoppndvlem1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	7, 21, 23	reexpclzd 14288	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
25	24, 2, 11	redivcld 12095	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26		knoppndvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zred 12722	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
28	25, 27	remulcld 11291	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36518  knoppndvlem7  36519  knoppndvlem10  36522  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem15  36527  knoppndvlem17  36529