Theorem knoppndvlem1 36488

Description: Lemma for knoppndv 36510. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem1	⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12322	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		knoppndvlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nnz 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
9	6	recnd 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		2ne0 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12		0red 11246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13		1red 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
16		nnge1 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
17	3, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
18	12, 13, 6, 15, 17	ltletrd 11403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19	12, 18	ltned 11379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
20	19	necomd 2986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
21	8, 9, 11, 20	mulne0d 11897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22		knoppndvlem1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
23	22	znegcld 12707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
24	7, 21, 23	reexpclzd 14271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
25	24, 2, 11	redivcld 12077	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26		knoppndvlem1.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
27	26	zred 12705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
28	25, 27	remulcld 11273	1 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142   < clt 11277   ≤ cle 11278  -cneg 11475   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  ℤcz 12596  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  36493  knoppndvlem7  36494  knoppndvlem10  36497  knoppndvlem14  36501  knoppndvlem15  36502  knoppndvlem17  36504