Theorem unbdqndv2 37555

Description: Variant of unbdqndv1 37552 with the hypothesis that (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) is unbounded where 𝑥 ≤ 𝐴 and 𝐴 ≤ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
2		ax-resscn 11284	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4		unbdqndv2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		unbdqndv2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		breq1 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
9	8	3anbi3d 1471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
10	9	rexbidv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
11	10	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
12	11	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
15		2rp 13152	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
18	16, 17	rpmulcld 13207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
19	12, 14, 18	rspcdva 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
20		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		rsp 3254	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
22	19, 20, 21	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
23		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)
24	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
25	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	3, 7, 5	dvbss 26251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
28	26, 27	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
32	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
33	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
35		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
36		simpr2r 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37		simpr1l 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
38		simpr1r 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
39		simpr2l 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (𝑦 − 𝑥) < 𝑑)
40		simpr3 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 37554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
42	41	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43		fvoveq1 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
44	43	breq1d 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45		2fveq3 6913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
46	45	breq2d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
47	44, 46	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
48	47	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
49	41	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
50	42, 48, 49	rspcedvd 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
52	51	rexlimdvva 3223	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
53	22, 52	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
54	53	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
55	1, 3, 5, 7, 54	unbdqndv1 37552	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
56	55	pm2.01da 811	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ℝ⁺crp 13147  abscabs 15430   D cdv 26213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-ntr 23368  df-cnp 23576  df-xms 24669  df-ms 24670  df-limc 26216  df-dv 26217

This theorem is used by:  knoppndv  37578