Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2 36043
Description: Variant of unbdqndv1 36040 with the hypothesis that (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) is unbounded where π‘₯ ≀ 𝐴 and 𝐴 ≀ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
unbdqndv2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
unbdqndv2.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2
Dummy variables 𝑐 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
2 ax-resscn 11195 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
32a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4 unbdqndv2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
54adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
6 unbdqndv2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
8 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ↔ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
983anbi3d 1438 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
109rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
1110rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
1211ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
13 unbdqndv2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
15 2rp 13011 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
17 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
1816, 17rpmulcld 13064 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (2 Β· 𝑐) ∈ ℝ+)
1912, 14, 18rspcdva 3602 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
20 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
21 rsp 3235 . . . . . 6 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
2219, 20, 21sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)
245ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
257ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
263, 7, 5dvbss 25848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
2826, 27sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
3320ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
34 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
35 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
36 simpr2r 1230 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
37 simpr1l 1227 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
38 simpr1r 1228 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
39 simpr2l 1229 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑)
40 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
411, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40unbdqndv2lem2 36042 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4241simpld 493 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
43 fvoveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)))
4443breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑))
45 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))
4645breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)) ↔ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)))))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))) ↔ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4847adantl 480 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) ∧ 𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))) ↔ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4941simprd 494 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)))))
5042, 48, 49rspcedvd 3603 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
5150ex 411 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)))))
5251rexlimdvva 3202 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)))))
5322, 52mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
5453ralrimivva 3191 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
551, 3, 5, 7, 54unbdqndv1 36040 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5655pm2.01da 797 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  β„+crp 13006  abscabs 15213   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-ntr 22942  df-cnp 23150  df-xms 24244  df-ms 24245  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  knoppndv  36066
  Copyright terms: Public domain W3C validator