Theorem unbdqndv2 35853

Description: Variant of unbdqndv1 35850 with the hypothesis that (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) is unbounded where 𝑥 ≤ 𝐴 and 𝐴 ≤ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
2		ax-resscn 11173	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4		unbdqndv2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		unbdqndv2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
9	8	3anbi3d 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
10	9	rexbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
11	10	rexbidv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
12	11	ralbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
14	13	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
15		2rp 12986	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
18	16, 17	rpmulcld 13039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
19	12, 14, 18	rspcdva 3613	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
20		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		rsp 3243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
22	19, 20, 21	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
23		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)
24	5	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
25	7	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	3, 7, 5	dvbss 25750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
28	26, 27	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
32	17	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
33	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
35		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
36		simpr2r 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37		simpr1l 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
38		simpr1r 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
39		simpr2l 1231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (𝑦 − 𝑥) < 𝑑)
40		simpr3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 35852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
42	41	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
44	43	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
46	45	breq2d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
47	44, 46	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
48	47	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
49	41	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
50	42, 48, 49	rspcedvd 3614	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
52	51	rexlimdvva 3210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
53	22, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
54	53	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
55	1, 3, 5, 7, 54	unbdqndv1 35850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
56	55	pm2.01da 796	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115   · cmul 11121   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ℝ⁺crp 12981  abscabs 15188   D cdv 25712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-cnp 23052  df-xms 24146  df-ms 24147  df-limc 25715  df-dv 25716

This theorem is referenced by:  knoppndv  35876