Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2 36513
Description: Variant of unbdqndv1 36510 with the hypothesis that (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) is unbounded where 𝑥𝐴 and 𝐴𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2
Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
2 ax-resscn 11213 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4 unbdqndv2.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6 unbdqndv2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
983anbi3d 1443 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
109rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1110rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
1211ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
13 unbdqndv2.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
1413ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
15 2rp 13040 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1816, 17rpmulcld 13094 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
1912, 14, 18rspcdva 3622 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
20 simprr 772 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21 rsp 3246 . . . . . 6 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))))
2219, 20, 21sylc 65 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)
245ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
257ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
263, 7, 5dvbss 25937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
2826, 27sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴𝑋)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐴𝑋)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑋)
3217ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
3320ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑋)
35 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑦𝑋)
36 simpr2r 1233 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝑦)
37 simpr1l 1230 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝑥𝐴)
38 simpr1r 1231 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → 𝐴𝑦)
39 simpr2l 1232 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (𝑦𝑥) < 𝑑)
40 simpr3 1196 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))
411, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40unbdqndv2lem2 36512 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
4241simpld 494 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
4443breq1d 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45 2fveq3 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
4645breq2d 5154 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
4744, 46anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
4847adantl 481 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
4941simprd 495 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
5042, 48, 49rspcedvd 3623 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5150ex 412 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5251rexlimdvva 3212 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝐴𝐴𝑦) ∧ ((𝑦𝑥) < 𝑑𝑥𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))) / (𝑦𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤)))))
5322, 52mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
5453ralrimivva 3201 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))‘𝑤))))
551, 3, 5, 7, 54unbdqndv1 36510 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5655pm2.01da 798 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cdif 3947  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  +crp 13035  abscabs 15274   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  knoppndv  36536
  Copyright terms: Public domain W3C validator