Theorem unbdqndv2 36784

Description: Variant of unbdqndv1 36781 with the hypothesis that (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) is unbounded where 𝑥 ≤ 𝐴 and 𝐴 ≤ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
2		ax-resscn 11084	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4		unbdqndv2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		unbdqndv2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		breq1 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
9	8	3anbi3d 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
10	9	rexbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
11	10	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
12	11	ralbidv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
15		2rp 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
18	16, 17	rpmulcld 12991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
19	12, 14, 18	rspcdva 3566	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
20		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		rsp 3226	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
22	19, 20, 21	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)
24	5	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
25	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	3, 7, 5	dvbss 25877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
28	26, 27	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
32	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
33	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
35		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
36		simpr2r 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37		simpr1l 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
38		simpr1r 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
39		simpr2l 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (𝑦 − 𝑥) < 𝑑)
40		simpr3 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 36783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
42	41	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43		fvoveq1 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
44	43	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45		2fveq3 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
46	45	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
47	44, 46	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
48	47	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
49	41	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
50	42, 48, 49	rspcedvd 3567	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
52	51	rexlimdvva 3195	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
53	22, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
54	53	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
55	1, 3, 5, 7, 54	unbdqndv1 36781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
56	55	pm2.01da 799	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12225  ℝ⁺crp 12931  abscabs 15185   D cdv 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-fz 13451  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-ntr 22994  df-cnp 23202  df-xms 24294  df-ms 24295  df-limc 25842  df-dv 25843

This theorem is referenced by:  knoppndv  36807