Theorem unbdqndv2 36686

Description: Variant of unbdqndv1 36683 with the hypothesis that (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) is unbounded where 𝑥 ≤ 𝐴 and 𝐴 ≤ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
2		ax-resscn 11087	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4		unbdqndv2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		unbdqndv2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
9	8	3anbi3d 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
10	9	rexbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
11	10	rexbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
12	11	ralbidv 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
15		2rp 12914	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
18	16, 17	rpmulcld 12969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
19	12, 14, 18	rspcdva 3578	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
20		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		rsp 3225	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
22	19, 20, 21	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)
24	5	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
25	7	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	3, 7, 5	dvbss 25862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
28	26, 27	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
32	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
33	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
35		simplrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
36		simpr2r 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37		simpr1l 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
38		simpr1r 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
39		simpr2l 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (𝑦 − 𝑥) < 𝑑)
40		simpr3 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 36685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
42	41	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
44	43	breq1d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45		2fveq3 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
46	45	breq2d 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
47	44, 46	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
48	47	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
49	41	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
50	42, 48, 49	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
51	50	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
52	51	rexlimdvva 3194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
53	22, 52	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
54	53	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
55	1, 3, 5, 7, 54	unbdqndv1 36683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
56	55	pm2.01da 799	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ℝ⁺crp 12909  abscabs 15161   D cdv 25824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-rest 17346  df-topn 17347  df-topgen 17367  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-ntr 22968  df-cnp 23176  df-xms 24268  df-ms 24269  df-limc 25827  df-dv 25828

This theorem is referenced by:  knoppndv  36709