Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2 35895
Description: Variant of unbdqndv1 35892 with the hypothesis that (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) is unbounded where π‘₯ ≀ 𝐴 and 𝐴 ≀ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
unbdqndv2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
unbdqndv2.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2
Dummy variables 𝑐 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))
2 ax-resscn 11169 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
32a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4 unbdqndv2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
6 unbdqndv2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
8 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ↔ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
983anbi3d 1438 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
109rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
1110rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
1211ralbidv 3171 . . . . . . 7 (𝑏 = (2 Β· 𝑐) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
13 unbdqndv2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
1413ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ 𝑏 ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
15 2rp 12985 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
17 simprl 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
1816, 17rpmulcld 13038 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (2 Β· 𝑐) ∈ ℝ+)
1912, 14, 18rspcdva 3607 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
20 simprr 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
21 rsp 3238 . . . . . 6 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))))
2219, 20, 21sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)
245ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
257ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
263, 7, 5dvbss 25785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ dom (ℝ D 𝐹) βŠ† 𝑋)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
2826, 27sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3217ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
3320ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
34 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
35 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
36 simpr2r 1230 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
37 simpr1l 1227 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
38 simpr1r 1228 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
39 simpr2l 1229 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑)
40 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
411, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40unbdqndv2lem2 35894 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ (if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ∧ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4241simpld 494 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}))
43 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)))
4443breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑))
45 2fveq3 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))
4645breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)) ↔ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)))))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))) ↔ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4847adantl 481 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) ∧ 𝑀 = if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)) β†’ (((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))) ↔ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦))))))
4941simprd 495 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ ((absβ€˜(if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦) βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜if((𝑐 Β· (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))), π‘₯, 𝑦)))))
5042, 48, 49rspcedvd 3608 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
5150ex 412 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)))))
5251rexlimdvva 3205 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆ’ π‘₯) < 𝑑 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (2 Β· 𝑐) ≀ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€)))))
5322, 52mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
5453ralrimivva 3194 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴})((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐴}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝑧 βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘€))))
551, 3, 5, 7, 54unbdqndv1 35892 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5655pm2.01da 796 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  abscabs 15187   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-ntr 22879  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  knoppndv  35918
  Copyright terms: Public domain W3C validator