Theorem unbdqndv2 37023

Description: Variant of unbdqndv1 37020 with the hypothesis that (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) is unbounded where 𝑥 ≤ 𝐴 and 𝐴 ≤ 𝑦. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
unbdqndv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv2.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables 𝑐 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))
2		ax-resscn 11157	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ℝ ⊆ ℂ)
4		unbdqndv2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		unbdqndv2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8		breq1 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)) ↔ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
9	8	3anbi3d 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
10	9	rexbidv 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
11	10	rexbidv 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
12	11	ralbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (2 · 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
14	13	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑏 ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
15		2rp 13021	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 2 ∈ ℝ+)
17		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
18	16, 17	rpmulcld 13076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (2 · 𝑐) ∈ ℝ+)
19	12, 14, 18	rspcdva 3591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
20		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		rsp 3259	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))))
22	19, 20, 21	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))))
23		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)
24	5	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
25	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
26	3, 7, 5	dvbss 26029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
27		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
28	26, 27	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
32	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
33	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
34		simplrl 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
35		simplrr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
36		simpr2r 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≠ 𝑦)
37		simpr1l 1247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
38		simpr1r 1248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
39		simpr2l 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (𝑦 − 𝑥) < 𝑑)
40		simpr3 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 37022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → (if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ∧ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
42	41	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
43		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)))
44	43	breq1d 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → ((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑))
45		2fveq3 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))
46	45	breq2d 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
47	44, 46	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
48	47	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) ∧ 𝑤 = if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)) → (((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))) ↔ ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦))))))
49	41	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ((abs‘(if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦) − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘if((𝑐 · (𝑦 − 𝑥)) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐴))), 𝑥, 𝑦)))))
50	42, 48, 49	rspcedvd 3592	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥)))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
51	50	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
52	51	rexlimdvva 3228	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) ∧ ((𝑦 − 𝑥) < 𝑑 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ (2 · 𝑐) ≤ ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥))) / (𝑦 − 𝑥))) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤)))))
53	22, 52	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
54	53	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑤 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)))‘𝑤))))
55	1, 3, 5, 7, 54	unbdqndv1 37020	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
56	55	pm2.01da 810	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (ℝ D 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  2c2 12295  ℝ⁺crp 13016  abscabs 15285   D cdv 25991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-rest 17475  df-topn 17476  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-ntr 23146  df-cnp 23354  df-xms 24446  df-ms 24447  df-limc 25994  df-dv 25995

This theorem is referenced by:  knoppndv  37046