Theorem lcvp 39212

Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32376 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcvp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcvp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcvp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvp.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcvp	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvp.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lcvp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
5		lcvp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21049	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcvp.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lcvp.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	lsatlssel 39169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11	2	lssincl 20907	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 9	lsatcveq0 39204	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 }))
14		lcvp.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	2, 14, 4, 7, 8, 10	lcvexch 39211	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
16	13, 15	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0_gc0g 17350  LSSumclsm 19554  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LVecclvec 21045  LSAtomsclsa 39146   ⋖_L clcv 39190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-0g 17352  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cntz 19237  df-oppg 19266  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-lsatoms 39148  df-lcv 39191

This theorem is referenced by:  lsatexch  39215  lsatnle  39216  lsatcv0eq  39219  lsatcvatlem  39221