Theorem lcvp 35114

Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 29785 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcvp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcvp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcvp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvp.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcvp	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvp.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lcvp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
5		lcvp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 19472	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcvp.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lcvp.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	lsatlssel 35071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11	2	lssincl 19331	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 9	lsatcveq0 35106	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 }))
14		lcvp.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	2, 14, 4, 7, 8, 10	lcvexch 35113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
16	13, 15	bitr3d 273	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3797  {csn 4399   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0_gc0g 16460  LSSumclsm 18407  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LVecclvec 19468  LSAtomsclsa 35048   ⋖_L clcv 35092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-lcv 35093

This theorem is referenced by:  lsatexch  35117  lsatnle  35118  lsatcv0eq  35121  lsatcvatlem  35123