Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvp 38404
Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32100 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lcvp.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lcvp.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lcvp.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lcvp.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lcvp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lcvp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lcvp.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcvp (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))

Proof of Theorem lcvp
StepHypRef Expression
1 lcvp.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lcvp.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lcvp.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lcvp.c . . 3 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lcvp.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20946 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lcvp.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lcvp.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
102, 3, 7, 9lsatlssel 38361 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
112lssincl 20804 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 9lsatcveq0 38396 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄)𝐢𝑄 ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 }))
14 lcvp.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
152, 14, 4, 7, 8, 10lcvexch 38403 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄)𝐢𝑄 ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
1613, 15bitr3d 281 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940  {csn 4621   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  0gc0g 17386  LSSumclsm 19546  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  LVecclvec 20942  LSAtomsclsa 38338   β‹–L clcv 38382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lcv 38383
This theorem is referenced by:  lsatexch  38407  lsatnle  38408  lsatcv0eq  38411  lsatcvatlem  38413
  Copyright terms: Public domain W3C validator