Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvp 38506
Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32178 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lcvp.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lcvp.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lcvp.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lcvp.c 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
lcvp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lcvp.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lcvp.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcvp (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))

Proof of Theorem lcvp
StepHypRef Expression
1 lcvp.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lcvp.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lcvp.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 lcvp.c . . 3 𝐢 = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lcvp.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20984 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lcvp.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lcvp.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
102, 3, 7, 9lsatlssel 38463 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
112lssincl 20842 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
127, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 9lsatcveq0 38498 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄)𝐢𝑄 ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 }))
14 lcvp.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
152, 14, 4, 7, 8, 10lcvexch 38505 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄)𝐢𝑄 ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
1613, 15bitr3d 281 1 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ π‘ˆπΆ(π‘ˆ βŠ• 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0gc0g 17414  LSSumclsm 19582  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LVecclvec 20980  LSAtomsclsa 38440   β‹–L clcv 38484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17416  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-oppg 19290  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38442  df-lcv 38485
This theorem is referenced by:  lsatexch  38509  lsatnle  38510  lsatcv0eq  38513  lsatcvatlem  38515
  Copyright terms: Public domain W3C validator