Theorem lcvp 38996

Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 32407 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcvp.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcvp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcvp.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvp.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcvp	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvp.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lcvp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lcvp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lcvp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
5		lcvp.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21128	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcvp.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lcvp.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	2, 3, 7, 9	lsatlssel 38953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
11	2	lssincl 20986	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑄) ∈ 𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 9	lsatcveq0 38988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ (𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 }))
14		lcvp.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	2, 14, 4, 7, 8, 10	lcvexch 38995	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄)𝐶𝑄 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
16	13, 15	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0_gc0g 17499  LSSumclsm 19676  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LVecclvec 21124  LSAtomsclsa 38930   ⋖_L clcv 38974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lcv 38975

This theorem is referenced by:  lsatexch  38999  lsatnle  39000  lsatcv0eq  39003  lsatcvatlem  39005