Theorem chteq0 26437

Description: The first Chebyshev function is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
chteq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((θ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem chteq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12126	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 11132	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		chtrpcl 26404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ+)
5	4	rpne0d 12856	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (θ‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (θ‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (θ‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 2960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((θ‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		chtlepsi 26434	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐴))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (θ‘𝐴) ≤ (ψ‘𝐴))
11		chpeq0 26436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ψ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
12	11	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘𝐴) = 0)
13	10, 12	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (θ‘𝐴) ≤ 0)
14		chtge0 26341	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝐴))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 0 ≤ (θ‘𝐴))
16		chtcl 26338	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (θ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		0re 11056	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		letri3 11139	. . . . 5 ⊢ (((θ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((θ‘𝐴) = 0 ↔ ((θ‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (θ‘𝐴))))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((θ‘𝐴) = 0 ↔ ((θ‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (θ‘𝐴))))
21	13, 15, 20	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (θ‘𝐴) = 0)
22	21	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (θ‘𝐴) = 0))
23	8, 22	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((θ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   class class class wbr 5086  ‘cfv 6465  ℝcr 10949  0cc0 10950   < clt 11088   ≤ cle 11089  2c2 12107  θccht 26320  ψcchp 26322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-oadd 8349  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-dju 9736  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ioc 13163  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-fac 14067  df-bc 14096  df-hash 14124  df-shft 14854  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-limsup 15256  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-ef 15853  df-sin 15855  df-cos 15856  df-pi 15858  df-dvds 16040  df-gcd 16278  df-prm 16451  df-pc 16612  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-rest 17207  df-topn 17208  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-topgen 17228  df-pt 17229  df-prds 17232  df-xrs 17287  df-qtop 17292  df-imas 17293  df-xps 17295  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-submnd 18505  df-mulg 18774  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lp 22367  df-perf 22368  df-cn 22458  df-cnp 22459  df-haus 22546  df-tx 22793  df-hmeo 22986  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-tms 23555  df-cncf 24121  df-limc 25110  df-dv 25111  df-log 25792  df-cht 26326  df-vma 26327  df-chp 26328

This theorem is referenced by: (None)