Theorem iblposlem 24544

Description: Lemma for iblpos 24545. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iblposlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblpos.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2		iblrelem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	le0neg2d 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	1, 3	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
5	4	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
7	2	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9		0re 10721	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letri3 10804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
11	8, 9, 10	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
12	5, 6, 11	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
13	12	ifeq1da 4445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14		ifid 4454	. . . . . 6 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
16	15	mpteq2dv 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17		fconstmpt 5585	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
18	16, 17	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
19	18	fveq2d 6678	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20		itg20 24490	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4414  {csn 4516   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5523  ‘cfv 6339  ℝcr 10614  0cc0 10615   ≤ cle 10754  -cneg 10949  ∫₂citg2 24368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xadd 12591  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-xmet 20210  df-met 20211  df-ovol 24216  df-vol 24217  df-mbf 24371  df-itg1 24372  df-itg2 24373  df-0p 24422

This theorem is referenced by:  iblpos  24545  itgposval  24548