Theorem iblposlem 25806

Description: Lemma for iblpos 25807. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iblposlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblpos.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2		iblrelem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	le0neg2d 11824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	1, 3	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
5	4	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
7	2	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9		0re 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letri3 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
11	8, 9, 10	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
12	5, 6, 11	mpbir2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
13	12	ifeq1da 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14		ifid 4563	. . . . . 6 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
16	15	mpteq2dv 5245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17		fconstmpt 5734	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
18	16, 17	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
19	18	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20		itg20 25752	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   × cxp 5670  ‘cfv 6543  ℝcr 11145  0cc0 11146   ≤ cle 11287  -cneg 11483  ∫₂citg2 25630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xadd 13138  df-ioo 13373  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-clim 15482  df-sum 15683  df-xmet 21329  df-met 21330  df-ovol 25478  df-vol 25479  df-mbf 25633  df-itg1 25634  df-itg2 25635  df-0p 25684

This theorem is referenced by:  iblpos  25807  itgposval  25810