Theorem iblposlem 25676

Description: Lemma for iblpos 25677. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iblposlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblpos.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2		iblrelem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	le0neg2d 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
4	1, 3	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
5	4	adantrr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
7	2	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 11645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9		0re 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		letri3 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
11	8, 9, 10	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
12	5, 6, 11	mpbir2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
13	12	ifeq1da 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14		ifid 4563	. . . . . 6 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
16	15	mpteq2dv 5243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17		fconstmpt 5731	. . . 4 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
18	16, 17	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
19	18	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20		itg20 25622	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  ‘cfv 6537  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11253  -cneg 11449  ∫₂citg2 25500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-0p 25554

This theorem is referenced by:  iblpos  25677  itgposval  25680