MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblposlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblposlem 24544
Description: Lemma for iblpos 24545. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iblposlem (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem
StepHypRef Expression
1 iblpos.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2 iblrelem.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32le0neg2d 11290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
41, 3mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
54adantrr 717 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
72adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
87renegcld 11145 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9 0re 10721 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
10 letri3 10804 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
118, 9, 10sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
125, 6, 11mpbir2and 713 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
1312ifeq1da 4445 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14 ifid 4454 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
1615mpteq2dv 5126 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17 fconstmpt 5585 . . . 4 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1816, 17eqtr4di 2791 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
1918fveq2d 6678 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20 itg20 24490 . 2 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2119, 20eqtrdi 2789 1 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  ifcif 4414  {csn 4516   class class class wbr 5030  cmpt 5110   × cxp 5523  cfv 6339  cr 10614  0cc0 10615  cle 10754  -cneg 10949  2citg2 24368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xadd 12591  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-xmet 20210  df-met 20211  df-ovol 24216  df-vol 24217  df-mbf 24371  df-itg1 24372  df-itg2 24373  df-0p 24422
This theorem is referenced by:  iblpos  24545  itgposval  24548
  Copyright terms: Public domain W3C validator