MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblposlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblposlem 25806
Description: Lemma for iblpos 25807. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
iblpos.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
iblposlem (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblposlem
StepHypRef Expression
1 iblpos.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
2 iblrelem.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32le0neg2d 11824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 0))
41, 3mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ≤ 0)
54adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ≤ 0)
6 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ -𝐵)
72adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
87renegcld 11679 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
9 0re 11254 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
10 letri3 11337 . . . . . . . . 9 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
118, 9, 10sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → (-𝐵 = 0 ↔ (-𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
125, 6, 11mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → -𝐵 = 0)
1312ifeq1da 4554 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0))
14 ifid 4563 . . . . . 6 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), 0, 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = 0)
1615mpteq2dv 5245 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
17 fconstmpt 5734 . . . 4 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1816, 17eqtr4di 2784 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (ℝ × {0}))
1918fveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
20 itg20 25752 . 2 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2119, 20eqtrdi 2782 1 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5143  cmpt 5226   × cxp 5670  cfv 6543  cr 11145  0cc0 11146  cle 11287  -cneg 11483  2citg2 25630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xadd 13138  df-ioo 13373  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-clim 15482  df-sum 15683  df-xmet 21329  df-met 21330  df-ovol 25478  df-vol 25479  df-mbf 25633  df-itg1 25634  df-itg2 25635  df-0p 25684
This theorem is referenced by:  iblpos  25807  itgposval  25810
  Copyright terms: Public domain W3C validator