Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpeq0 25147
 Description: The second Chebyshev function is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpeq0 (𝐴 ∈ ℝ → ((ψ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem chpeq0
StepHypRef Expression
1 2re 11290 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 lenlt 10316 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
31, 2mpan 670 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4 chprpcl 25146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) ∈ ℝ+)
54rpne0d 12073 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (ψ‘𝐴) ≠ 0)
65ex 397 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (ψ‘𝐴) ≠ 0))
73, 6sylbird 250 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (ψ‘𝐴) ≠ 0))
87necon4bd 2963 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((ψ‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9 reflcl 12798 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 10255 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12 2z 11609 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
13 fllt 12808 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1514biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16 df-2 11279 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1715, 16syl6breq 4827 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18 flcl 12797 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
1918adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20 1z 11607 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
21 zleltp1 11628 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2219, 20, 21sylancl 574 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2317, 22mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24 chpwordi 25097 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (ψ‘(⌊‘𝐴)) ≤ (ψ‘1))
2510, 11, 23, 24syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘(⌊‘𝐴)) ≤ (ψ‘1))
26 chpfl 25090 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘(⌊‘𝐴)) = (ψ‘𝐴))
2726adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘(⌊‘𝐴)) = (ψ‘𝐴))
28 chp1 25107 . . . . . 6 (ψ‘1) = 0
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘1) = 0)
3025, 27, 293brtr3d 4817 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘𝐴) ≤ 0)
31 chpge0 25066 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (ψ‘𝐴))
3231adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 0 ≤ (ψ‘𝐴))
33 chpcl 25064 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ψ‘𝐴) ∈ ℝ)
3433adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘𝐴) ∈ ℝ)
35 0re 10240 . . . . 5 0 ∈ ℝ
36 letri3 10323 . . . . 5 (((ψ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ψ‘𝐴) = 0 ↔ ((ψ‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ψ‘𝐴))))
3734, 35, 36sylancl 574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((ψ‘𝐴) = 0 ↔ ((ψ‘𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ψ‘𝐴))))
3830, 32, 37mpbir2and 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (ψ‘𝐴) = 0)
3938ex 397 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (ψ‘𝐴) = 0))
408, 39impbid 202 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((ψ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  ℝcr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274   ≤ cle 10275  2c2 11270  ℤcz 11577  ⌊cfl 12792  ψcchp 25033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844  df-log 24517  df-cht 25037  df-vma 25038  df-chp 25039 This theorem is referenced by:  chteq0  25148  chpo1ubb  25384  selberg2lem  25453  pntrmax  25467  pntrsumo1  25468  pntrlog2bndlem2  25481  pntrlog2bndlem4  25483
 Copyright terms: Public domain W3C validator