Theorem lgslem2 27634

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains { -1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12739	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		1le1 11951	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
3		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘ -1))
4		ax-1cn 11265	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	absnegi 15577	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
6		abs1 15473	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
7	5, 6	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (abs‘ -1) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
9	8	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
11	9, 10	elrab2 3648	. . 3 ⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ↔ ( -1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
12	1, 2, 11	mpbir2an 724	. 2 ⊢ -1 ∈ 𝑍
13		0z 12711	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		0le1 11846	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16		abs0 15461	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
18	17	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18, 10	elrab2 3648	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
20	13, 14, 19	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝑍
21		1z 12733	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
23	22, 6	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 10	elrab2 3648	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	21, 2, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑍
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  0cc0 11207  1c1 11208   ≤ cle 11351   -cneg 11549  ℤcz 12700  abscabs 15410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by:  lgslem4  27636  lgscllem  27640