Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem2 25889
 Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem2 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 12008 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 1le1 11259 . . 3 1 ≤ 1
3 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4 ax-1cn 10586 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
54absnegi 14754 . . . . . . 7 (abs‘-1) = (abs‘1)
6 abs1 14651 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
75, 6eqtri 2821 . . . . . 6 (abs‘-1) = 1
83, 7eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
98breq1d 5040 . . . 4 (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
119, 10elrab2 3631 . . 3 (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
121, 2, 11mpbir2an 710 . 2 -1 ∈ 𝑍
13 0z 11982 . . 3 0 ∈ ℤ
14 0le1 11154 . . 3 0 ≤ 1
15 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16 abs0 14639 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
1817breq1d 5040 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918, 10elrab2 3631 . . 3 (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
2013, 14, 19mpbir2an 710 . 2 0 ∈ 𝑍
21 1z 12002 . . 3 1 ∈ ℤ
22 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
2322, 6eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
2423breq1d 5040 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
2524, 10elrab2 3631 . . 3 (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
2621, 2, 25mpbir2an 710 . 2 1 ∈ 𝑍
2712, 20, 263pm3.2i 1336 1 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  0cc0 10528  1c1 10529   ≤ cle 10667  -cneg 10862  ℤcz 11971  abscabs 14587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589 This theorem is referenced by:  lgslem4  25891  lgscllem  25895
 Copyright terms: Public domain W3C validator