Theorem lgslem2 27682

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains { -1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12772	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		1le1 11984	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
3		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘ -1))
4		ax-1cn 11297	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	absnegi 15612	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
6		abs1 15507	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
7	5, 6	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (abs‘ -1) = 1
8	3, 7	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
9	8	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
11	9, 10	elrab2 3652	. . 3 ⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ↔ ( -1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
12	1, 2, 11	mpbir2an 724	. 2 ⊢ -1 ∈ 𝑍
13		0z 12744	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		0le1 11879	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16		abs0 15495	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
18	17	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18, 10	elrab2 3652	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
20	13, 14, 19	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝑍
21		1z 12766	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
23	22, 6	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 10	elrab2 3652	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	21, 2, 25	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑍
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ( -1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383   -cneg 11581  ℤcz 12733  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  lgslem4  27684  lgscllem  27688