MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem2 27327
Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem2 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 12650 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 1le1 11892 . . 3 1 ≤ 1
3 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4 ax-1cn 11216 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
54absnegi 15405 . . . . . . 7 (abs‘-1) = (abs‘1)
6 abs1 15302 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
75, 6eqtri 2754 . . . . . 6 (abs‘-1) = 1
83, 7eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
98breq1d 5163 . . . 4 (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
119, 10elrab2 3684 . . 3 (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
121, 2, 11mpbir2an 709 . 2 -1 ∈ 𝑍
13 0z 12621 . . 3 0 ∈ ℤ
14 0le1 11787 . . 3 0 ≤ 1
15 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16 abs0 15290 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
1715, 16eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
1817breq1d 5163 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918, 10elrab2 3684 . . 3 (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
2013, 14, 19mpbir2an 709 . 2 0 ∈ 𝑍
21 1z 12644 . . 3 1 ∈ ℤ
22 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
2322, 6eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
2423breq1d 5163 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
2524, 10elrab2 3684 . . 3 (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
2621, 2, 25mpbir2an 709 . 2 1 ∈ 𝑍
2712, 20, 263pm3.2i 1336 1 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419   class class class wbr 5153  cfv 6554  0cc0 11158  1c1 11159  cle 11299  -cneg 11495  cz 12610  abscabs 15239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241
This theorem is referenced by:  lgslem4  27329  lgscllem  27333
  Copyright terms: Public domain W3C validator