Theorem lgslem2 25375

Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgslem2	⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 11703	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		1le1 10947	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
3		fveq2 6411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4		ax-1cn 10282	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	4	absnegi 14480	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
6		abs1 14378	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
7	5, 6	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = 1
8	3, 7	syl6eq 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
9	8	breq1d 4853	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10		lgslem2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
11	9, 10	elrab2 3560	. . 3 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
12	1, 2, 11	mpbir2an 703	. 2 ⊢ -1 ∈ 𝑍
13		0z 11677	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		0le1 10843	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
15		fveq2 6411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16		abs0 14366	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
17	15, 16	syl6eq 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
18	17	breq1d 4853	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
19	18, 10	elrab2 3560	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
20	13, 14, 19	mpbir2an 703	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝑍
21		1z 11697	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		fveq2 6411	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
23	22, 6	syl6eq 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 4853	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 10	elrab2 3560	. . 3 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	21, 2, 25	mpbir2an 703	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑍
27	12, 20, 26	3pm3.2i 1439	1 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  0cc0 10224  1c1 10225   ≤ cle 10364  -cneg 10557  ℤcz 11666  abscabs 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317

This theorem is referenced by:  lgslem4  25377  lgscllem  25381