Theorem abs1 15250

Description: The absolute value of one is one. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs1	⊢ (abs‘1) = 1

Proof of Theorem abs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0le1 11664	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
3		absid 15249	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (abs‘1) = 1)
4	1, 2, 3	mp2an 698	1 ⊢ (abs‘1) = 1

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   ≤ cle 11171  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  absexp  15257  absexpz  15258  iseraltlem3  15637  geolim  15826  geolim2  15827  georeclim  15828  geoisum1c  15836  efieq1re  16157  eirrlem  16162  nn0rppwr  16521  3lcm2e6woprm  16575  4sqlem13  16919  4sqlem19  16925  gzrngunit  21408  ncvsm1  25139  dvlipcn  25979  dvfsumabs  26008  geolim3  26323  abelthlem1  26414  abelthlem2  26415  coskpi  26505  sineq0  26506  logtayl  26642  abscxpbnd  26735  root1cj  26738  bndatandm  26911  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem5  27014  mule1  27129  logfacbnd3  27204  dchrabs  27241  zabsle1  27277  lgslem2  27279  lgsfcl2  27284  lgseisen  27360  2sqlem9  27408  2sqlem10  27409  nvm1  30754  nvmtri  30760  normlem7tALT  31208  norm-ii-i  31226  normsubi  31230  constrinvcl  33957  qqhval2lem  34165  qqh0  34168  subfaclim  35416  lcm1un  42498  binomcxplemrat  44794  sineq0ALT  45380  fprodabs2  46040  modp2nep1  47836  modm1nem2  47838