Theorem abs1 15384

Description: The absolute value of one is one. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abs1	⊢ (abs‘1) = 1

Proof of Theorem abs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11233	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0le1 11762	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
3		absid 15383	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (abs‘1) = 1)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (abs‘1) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   ≤ cle 11269  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  absexp  15391  absexpz  15392  iseraltlem3  15771  geolim  15959  geolim2  15960  georeclim  15961  geoisum1c  15969  efieq1re  16289  eirrlem  16294  nn0rppwr  16653  3lcm2e6woprm  16707  4sqlem13  17051  4sqlem19  17057  gzrngunit  21645  ncvsm1  25381  dvlipcn  26221  dvfsumabs  26250  geolim3  26570  abelthlem1  26662  abelthlem2  26663  coskpi  26756  sineq0  26757  logtayl  26893  abscxpbnd  26986  root1cj  26989  bndatandm  27162  lgamgulmlem2  27262  lgamgulmlem5  27265  mule1  27380  logfacbnd3  27455  dchrabs  27492  zabsle1  27528  lgslem2  27530  lgsfcl2  27535  lgseisen  27611  2sqlem9  27659  2sqlem10  27660  nvm1  31130  nvmtri  31136  normlem7tALT  31584  norm-ii-i  31602  normsubi  31606  constrinvcl  34268  qqhval2lem  34476  qqh0  34479  subfaclim  35752  lcm1un  42864  binomcxplemrat  45159  sineq0ALT  45744  fprodabs2  46410  modp2nep1  48246  modm1nem2  48248