MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs1 15270
Description: The absolute value of one is one. (Contributed by David A. Wheeler, 16-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs1 (abs‘1) = 1

Proof of Theorem abs1
StepHypRef Expression
1 1re 11238 . 2 1 ∈ ℝ
2 0le1 11761 . 2 0 ≤ 1
3 absid 15269 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (abs‘1) = 1)
41, 2, 3mp2an 691 1 (abs‘1) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cfv 6542  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133  cle 11273  abscabs 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209
This theorem is referenced by:  absexp  15277  absexpz  15278  iseraltlem3  15656  geolim  15842  geolim2  15843  georeclim  15844  geoisum1c  15852  efieq1re  16169  eirrlem  16174  3lcm2e6woprm  16579  4sqlem13  16919  4sqlem19  16925  gzrngunit  21359  ncvsm1  25075  dvlipcn  25920  dvfsumabs  25950  geolim3  26267  abelthlem1  26361  abelthlem2  26362  coskpi  26450  sineq0  26451  logtayl  26587  abscxpbnd  26681  root1cj  26684  bndatandm  26854  lgamgulmlem2  26955  lgamgulmlem5  26958  mule1  27073  logfacbnd3  27149  dchrabs  27186  zabsle1  27222  lgslem2  27224  lgsfcl2  27229  lgseisen  27305  2sqlem9  27353  2sqlem10  27354  nvm1  30468  nvmtri  30474  normlem7tALT  30922  norm-ii-i  30940  normsubi  30944  qqhval2lem  33576  qqh0  33579  subfaclim  34792  lcm1un  41478  nn0rppwr  41887  binomcxplemrat  43781  sineq0ALT  44370  fprodabs2  44977
  Copyright terms: Public domain W3C validator