Theorem rlmlmod 19979

Description: The ring module is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Proof of Theorem rlmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmval 19965	. 2 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgid 19539	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
5	4	sralmod 19961	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
7	1, 6	eqeltrid 2919	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Ringcrg 19299  SubRingcsubrg 19533  LModclmod 19636  subringAlg csra 19942  ringLModcrglmod 19943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-subg 18278  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-sra 19946  df-rgmod 19947

This theorem is referenced by:  rlmlvec  19980  lidl0cl  19987  lidlacl  19988  lidlnegcl  19989  lidlmcl  19992  lidl0  19994  lidl1  19995  lidlacs  19996  rspcl  19997  rspssid  19998  rsp0  20000  rspssp  20001  mrcrsp  20002  rspsn  20029  isphld  20800  frlmlmod  20895  frlmlss  20897  frlm0  20900  frlmsubgval  20911  frlmgsum  20918  frlmsplit2  20919  cnrlmod  23749  recvs  23752  qcvs  23753  zclmncvs  23754  rspsnel  30938  lsmidllsp  30952  lsmidl  30953  mxidlprm  30979  frlmsnic  39156  islnr2  39721