Theorem rlmlmod 21188

Description: The ring module is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Proof of Theorem rlmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmval 21176	. 2 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgid 20539	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
5	4	sralmod 21172	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
7	1, 6	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  Ringcrg 20203  SubRingcsubrg 20535  LModclmod 20844  subringAlg csra 21156  ringLModcrglmod 21157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-subg 19088  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-sra 21158  df-rgmod 21159

This theorem is referenced by:  rlmlvec  21189  lidl0cl  21208  lidlacl  21209  lidlnegcl  21210  lidl0ALT  21216  lidl1ALT  21219  lidlacs  21222  rspcl  21223  rspssid  21224  rsp0  21226  rspssp  21227  elrspsn  21228  mrcrsp  21229  rspsn  21321  isphld  21642  frlmlmod  21737  frlmlss  21739  frlm0  21742  frlmsubgval  21753  frlmgsum  21760  frlmsplit2  21761  cnrlmod  25119  recvs  25122  qcvs  25123  zclmncvs  25124  elrsp  33452  lsmidllsp  33480  lsmidl  33481  mxidlprm  33550  idlsrgmulrss1  33591  idlsrgmulrss2  33592  frlmsnic  42996  islnr2  43557