Theorem rlmlmod 21130

Description: The ring module is a module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Proof of Theorem rlmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmval 21118	. 2 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgid 20481	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
5	4	sralmod 21114	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)) ∈ LMod)
7	1, 6	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  Basecbs 17112  Ringcrg 20144  SubRingcsubrg 20477  LModclmod 20786  subringAlg csra 21098  ringLModcrglmod 21099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-subg 19028  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-sra 21100  df-rgmod 21101

This theorem is referenced by:  rlmlvec  21131  lidl0cl  21150  lidlacl  21151  lidlnegcl  21152  lidl0ALT  21158  lidl1ALT  21161  lidlacs  21164  rspcl  21165  rspssid  21166  rsp0  21168  rspssp  21169  elrspsn  21170  mrcrsp  21171  rspsn  21263  isphld  21584  frlmlmod  21679  frlmlss  21681  frlm0  21684  frlmsubgval  21695  frlmgsum  21702  frlmsplit2  21703  cnrlmod  25063  recvs  25066  qcvs  25067  zclmncvs  25068  elrsp  33327  lsmidllsp  33355  lsmidl  33356  mxidlprm  33425  idlsrgmulrss1  33466  idlsrgmulrss2  33467  frlmsnic  42552  islnr2  43126