Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfreuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfreuz 44130
Description: Given a function on the reals, its inferior limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is greater than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is smaller than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfreuz.1 Ⅎ𝑗𝐹
liminfreuz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfreuz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfreuz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
liminfreuz (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminfreuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑙𝐹
2 liminfreuz.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 liminfreuz.3 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 liminfreuz.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
51, 2, 3, 4liminfreuzlem 44129 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
6 breq2 5110 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
76rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
87ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
9 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
109rexeqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
11 liminfreuz.1 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐹
12 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑙
1311, 12nffv 6853 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
14 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 ≀
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗π‘₯
1613, 14, 15nfbr 5153 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
17 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
18 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
1918breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2016, 17, 19cbvrexw 3289 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2210, 21bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322cbvralvw 3224 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
258, 24bitrd 279 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2625cbvrexvw 3225 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
27 breq1 5109 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2827ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2915, 14, 13nfbr 5153 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
30 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
3118breq2d 5118 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3229, 30, 31cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3428, 33bitrd 279 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3534cbvrexvw 3225 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3626, 35anbi12i 628 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3736a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
385, 37bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-xneg 13038  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-limsup 15359  df-liminf 44079
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator