Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfreuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfreuz 45096
Description: Given a function on the reals, its inferior limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is greater than or equal to the function, infinitely often; 2. there is a real number that is smaller than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfreuz.1 Ⅎ𝑗𝐹
liminfreuz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfreuz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfreuz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
liminfreuz (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminfreuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . 3 Ⅎ𝑙𝐹
2 liminfreuz.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 liminfreuz.3 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 liminfreuz.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
51, 2, 3, 4liminfreuzlem 45095 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))))
6 breq2 5145 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
76rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
87ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
9 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
109rexeqdv 3320 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
11 liminfreuz.1 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝐹
12 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑙
1311, 12nffv 6895 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
14 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 ≀
15 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗π‘₯
1613, 14, 15nfbr 5188 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
18 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
1918breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2016, 17, 19cbvrexw 3298 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2210, 21bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322cbvralvw 3228 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
258, 24bitrd 279 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2625cbvrexvw 3229 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
27 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2827ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2915, 14, 13nfbr 5188 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
30 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)
3118breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3229, 30, 31cbvralw 3297 . . . . . . 7 (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3428, 33bitrd 279 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3534cbvrexvw 3229 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3626, 35anbi12i 626 . . 3 ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3736a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 βˆƒπ‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
385, 37bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  lim infclsi 45044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-xneg 13098  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-limsup 15421  df-liminf 45045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator