Theorem ldualssvsubcl 40419

Description: Closure of vector subtraction in a dual subspace.) (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualssvsubcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvsubcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvsubcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ldualssvsubcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 40413	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvsubcl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvsubcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
6		ldualssvsubcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
7		ldualssvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
8		ldualssvsubcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
9	7, 8	lssvsubcl 21252	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)
10	3, 4, 5, 6, 9	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  -_gcsg 19178  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  LDualcld 40383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lfl 40318  df-ldual 40384

This theorem is used by:  lcfrlem37  42839