Theorem ldualssvsubcl 36770

Description: Closure of vector subtraction in a dual subspace.) (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualssvsubcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvsubcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvsubcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ldualssvsubcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 36764	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvsubcl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvsubcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
6		ldualssvsubcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
7		ldualssvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
8		ldualssvsubcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
9	7, 8	lssvsubcl 19797	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)
10	3, 4, 5, 6, 9	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  -_gcsg 18185  LModclmod 19716  LSubSpclss 19785  LDualcld 36734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-0g 16787  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-oppr 19458  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lfl 36669  df-ldual 36735

This theorem is referenced by:  lcfrlem37  39190