Theorem ldualssvsubcl 37935

Description: Closure of vector subtraction in a dual subspace.) (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualssvsubcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualssvsubcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvsubcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualssvsubcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ldualssvsubcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
ldualssvsubcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ldualssvsubcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualssvsubcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualssvsubcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 37929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualssvsubcl.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
5		ldualssvsubcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
6		ldualssvsubcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
7		ldualssvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐷)
8		ldualssvsubcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
9	7, 8	lssvsubcl 20531	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)
10	3, 4, 5, 6, 9	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  -_gcsg 18808  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  LDualcld 37899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-oppr 20128  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lfl 37834  df-ldual 37900

This theorem is referenced by:  lcfrlem37  40356