Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualssvsubcl 38683
Description: Closure of vector subtraction in a dual subspace.) (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualssvsubcl.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualssvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π·)
ldualssvsubcl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualssvsubcl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
ldualssvsubcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
ldualssvsubcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ldualssvsubcl (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem ldualssvsubcl
StepHypRef Expression
1 ldualssvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 ldualssvsubcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2lduallmod 38677 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
4 ldualssvsubcl.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
5 ldualssvsubcl.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
6 ldualssvsubcl.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
7 ldualssvsubcl.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
8 ldualssvsubcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π·)
97, 8lssvsubcl 20827 . 2 (((𝐷 ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
103, 4, 5, 6, 9syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  -gcsg 18891  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LDualcld 38647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lfl 38582  df-ldual 38648
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  41104
  Copyright terms: Public domain W3C validator