Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualssvsubcl 35688
Description: Closure of vector subtraction in a dual subspace.) (Contributed by NM, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualssvsubcl.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvsubcl.m = (-g𝐷)
ldualssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvsubcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualssvsubcl.u (𝜑𝑈𝑆)
ldualssvsubcl.x (𝜑𝑋𝑈)
ldualssvsubcl.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
ldualssvsubcl (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvsubcl
StepHypRef Expression
1 ldualssvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualssvsubcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 35682 . 2 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualssvsubcl.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
5 ldualssvsubcl.x . 2 (𝜑𝑋𝑈)
6 ldualssvsubcl.y . 2 (𝜑𝑌𝑈)
7 ldualssvsubcl.m . . 3 = (-g𝐷)
8 ldualssvsubcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
97, 8lssvsubcl 19427 . 2 (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)
103, 4, 5, 6, 9syl22anc 826 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2048  cfv 6182  (class class class)co 6970  -gcsg 17883  LModclmod 19346  LSubSpclss 19415  LDualcld 35652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-lfl 35587  df-ldual 35653
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  38108
  Copyright terms: Public domain W3C validator