Theorem mapdpglem6 41060

Description: Lemma for mapdpg 41088. Baer p. 45, line 4: "If g were 0, then t would be in (Fy)*..." (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem4.g0	⊢ (𝜑 → 𝑔 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem6	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.t4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5	2, 3, 4	lcdlmod 40974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
6		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
10	2, 7, 4	dvhlmod 40492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	12, 8, 13	lspsncl 20822	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	10, 11, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	2, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15	mapdcl2 41038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
17		mapdpglem4.g0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑔 = 0 )
18	17	oveq1d 7419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) = ( 0 · 𝐺))
19		mapdpglem3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
20		mapdpglem4.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
21		mapdpglem3.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
22		mapdpglem3.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
23		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
24		mapdpglem3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
25	2, 7, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 4, 24	lcd0vs 40997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝐺) = (0g‘𝐶))
26	18, 25	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) = (0g‘𝐶))
27	23, 9	lss0cl 20792	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (0g‘𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
28	5, 16, 27	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
29	26, 28	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
30		mapdpglem4.z4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31		mapdpglem3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
32	31, 9	lssvsubcl 20789	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ ((𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
33	5, 16, 29, 30, 32	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34	1, 33	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {csn 4623  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·_𝑠 cvsca 17208  0_gc0g 17392  -_gcsg 18863  LSSumclsm 19552  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  LCDualclcd 40968  mapdcmpd 41006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-ldual 38505  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777  df-lcdual 40969  df-mapd 41007

This theorem is referenced by:  mapdpglem8  41061