MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem4 27465
Description: Lemma 4 for 2lgs 27466: special case of 2lgs 27466 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem4 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4
StepHypRef Expression
1 2lgs2 27464 . . 3 (2 /L 2) = 0
21eqeq1i 2740 . 2 ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3 0ne1 12335 . . . 4 0 ≠ 1
43neii 2940 . . 3 ¬ 0 = 1
5 1ne2 12472 . . . . 5 1 ≠ 2
65nesymi 2996 . . . 4 ¬ 2 = 1
7 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 2lt7 12454 . . . . . 6 2 < 7
97, 8ltneii 11372 . . . . 5 2 ≠ 7
109neii 2940 . . . 4 ¬ 2 = 7
116, 10pm3.2ni 880 . . 3 ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
124, 112false 375 . 2 (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13 8nn 12359 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
14 nnrp 13044 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
16 0le2 12366 . . . . 5 0 ≤ 2
17 2lt8 12461 . . . . 5 2 < 8
18 modid 13933 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
197, 15, 16, 17, 18mp4an 693 . . . 4 (2 mod 8) = 2
2019eleq1i 2830 . . 3 ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21 2ex 12341 . . . 4 2 ∈ V
2221elpr 4655 . . 3 (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
2320, 22bitr2i 276 . 2 ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
242, 12, 233bitri 297 1 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {cpr 4633   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  7c7 12324  8c8 12325  +crp 13032   mod cmo 13906   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  2lgs  27466
  Copyright terms: Public domain W3C validator