MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem4 26595
Description: Lemma 4 for 2lgs 26596: special case of 2lgs 26596 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem4 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4
StepHypRef Expression
1 2lgs2 26594 . . 3 (2 /L 2) = 0
21eqeq1i 2741 . 2 ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3 0ne1 12086 . . . 4 0 ≠ 1
43neii 2943 . . 3 ¬ 0 = 1
5 1ne2 12223 . . . . 5 1 ≠ 2
65nesymi 2999 . . . 4 ¬ 2 = 1
7 2re 12089 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 2lt7 12205 . . . . . 6 2 < 7
97, 8ltneii 11130 . . . . 5 2 ≠ 7
109neii 2943 . . . 4 ¬ 2 = 7
116, 10pm3.2ni 879 . . 3 ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
124, 112false 377 . 2 (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13 8nn 12110 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
14 nnrp 12783 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
16 0le2 12117 . . . . 5 0 ≤ 2
17 2lt8 12212 . . . . 5 2 < 8
18 modid 13658 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
197, 15, 16, 17, 18mp4an 691 . . . 4 (2 mod 8) = 2
2019eleq1i 2827 . . 3 ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21 2ex 12092 . . . 4 2 ∈ V
2221elpr 4588 . . 3 (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
2320, 22bitr2i 277 . 2 ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
242, 12, 233bitri 298 1 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wo 845   = wceq 1539  wcel 2104  {cpr 4567   class class class wbr 5081  (class class class)co 7303  cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   < clt 11051  cle 11052  cn 12015  2c2 12070  7c7 12075  8c8 12076  +crp 12772   mod cmo 13631   /L clgs 26483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-er 8525  df-map 8644  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-sup 9241  df-inf 9242  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-mod 13632  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-dvds 16005  df-gcd 16243  df-prm 16418  df-phi 16508  df-pc 16579  df-lgs 26484
This theorem is referenced by:  2lgs  26596
  Copyright terms: Public domain W3C validator