Theorem 2lgslem4 27581

Description: Lemma 4 for 2lgs 27582: special case of 2lgs 27582 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27580	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2767	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12318	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2959	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12457	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3014	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12321	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12439	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11329	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2959	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 893	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 378	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12342	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 13034	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12349	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12446	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 13936	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2853	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12324	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4613	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 300	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {cpr 4590   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12239  2c2 12301  7c7 12306  8c8 12307  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13909   /_L clgs 27469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-prm 16736  df-phi 16831  df-pc 16903  df-lgs 27470

This theorem is used by:  2lgs  27582