MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem4 27333
Description: Lemma 4 for 2lgs 27334: special case of 2lgs 27334 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem4 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4
StepHypRef Expression
1 2lgs2 27332 . . 3 (2 /L 2) = 0
21eqeq1i 2733 . 2 ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3 0ne1 12308 . . . 4 0 ≠ 1
43neii 2938 . . 3 ¬ 0 = 1
5 1ne2 12445 . . . . 5 1 ≠ 2
65nesymi 2994 . . . 4 ¬ 2 = 1
7 2re 12311 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 2lt7 12427 . . . . . 6 2 < 7
97, 8ltneii 11352 . . . . 5 2 ≠ 7
109neii 2938 . . . 4 ¬ 2 = 7
116, 10pm3.2ni 879 . . 3 ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
124, 112false 375 . 2 (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13 8nn 12332 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
14 nnrp 13012 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
16 0le2 12339 . . . . 5 0 ≤ 2
17 2lt8 12434 . . . . 5 2 < 8
18 modid 13888 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
197, 15, 16, 17, 18mp4an 692 . . . 4 (2 mod 8) = 2
2019eleq1i 2820 . . 3 ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21 2ex 12314 . . . 4 2 ∈ V
2221elpr 4648 . . 3 (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
2320, 22bitr2i 276 . 2 ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
242, 12, 233bitri 297 1 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  {cpr 4627   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   < clt 11273  cle 11274  cn 12237  2c2 12292  7c7 12297  8c8 12298  +crp 13001   mod cmo 13861   /L clgs 27221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-phi 16729  df-pc 16800  df-lgs 27222
This theorem is referenced by:  2lgs  27334
  Copyright terms: Public domain W3C validator