Theorem 2lgslem4 27763

Description: Lemma 4 for 2lgs 27764: special case of 2lgs 27764 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27762	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2768	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12441	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2961	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12580	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3016	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12444	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12562	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11450	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2961	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 894	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 378	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12465	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 13159	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12472	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12569	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 14063	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2855	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12447	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4609	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 300	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  2c2 12424  7c7 12429  8c8 12430  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036   /_L clgs 27651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-phi 16972  df-pc 17044  df-lgs 27652

This theorem is used by:  2lgs  27764