Theorem 2lgslem4 27546

Description: Lemma 4 for 2lgs 27547: special case of 2lgs 27547 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27545	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2766	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12311	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2958	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12450	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3013	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12432	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11322	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2958	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 893	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 378	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12335	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 13027	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12342	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12439	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 13929	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 705	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2852	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12317	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4613	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 300	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {cpr 4590   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  2c2 12294  7c7 12299  8c8 12300  ℝ⁺crp 13015   mod cmo 13902   /_L clgs 27434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-pc 16896  df-lgs 27435

This theorem is referenced by:  2lgs  27547