Theorem 2lgslem4 27440

Description: Lemma 4 for 2lgs 27441: special case of 2lgs 27441 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27439	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2761	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12279	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2953	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12418	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3008	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12400	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11286	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2953	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 889	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 377	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12303	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 12995	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12310	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12407	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 13896	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 701	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2847	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12285	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4601	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 278	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 299	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {cpr 4578   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   < clt 11206   ≤ cle 11207  ℕcn 12200  2c2 12262  7c7 12267  8c8 12268  ℝ⁺crp 12983   mod cmo 13869   /_L clgs 27328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-dvds 16263  df-gcd 16505  df-prm 16682  df-phi 16777  df-pc 16849  df-lgs 27329

This theorem is referenced by:  2lgs  27441