Theorem 2lgslem4 27394

Description: Lemma 4 for 2lgs 27395: special case of 2lgs 27395 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27393	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2745	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12250	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2937	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12382	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2992	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12253	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12364	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11257	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2937	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 886	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 376	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12274	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 12952	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12281	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12371	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 13853	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 699	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2831	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12256	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4587	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 277	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 298	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cpr 4564   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  2c2 12234  7c7 12239  8c8 12240  ℝ⁺crp 12940   mod cmo 13826   /_L clgs 27282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-phi 16734  df-pc 16806  df-lgs 27283

This theorem is referenced by:  2lgs  27395