Theorem 2lgslem4 27734

Description: Lemma 4 for 2lgs 27735: special case of 2lgs 27735 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27733	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2765	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12415	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2957	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12554	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3012	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12536	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11424	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2957	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 894	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 378	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12439	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 13133	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12446	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12543	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 14037	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2851	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12421	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4608	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 300	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cpr 4585   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   < clt 11344   ≤ cle 11345  ℕcn 12336  2c2 12398  7c7 12403  8c8 12404  ℝ⁺crp 13121   mod cmo 14010   /_L clgs 27622

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-phi 16944  df-pc 17016  df-lgs 27623

This theorem is used by:  2lgs  27735