MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem4 25979
Description: Lemma 4 for 2lgs 25980: special case of 2lgs 25980 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem4 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4
StepHypRef Expression
1 2lgs2 25978 . . 3 (2 /L 2) = 0
21eqeq1i 2829 . 2 ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3 0ne1 11694 . . . 4 0 ≠ 1
43neii 3015 . . 3 ¬ 0 = 1
5 1ne2 11831 . . . . 5 1 ≠ 2
65nesymi 3070 . . . 4 ¬ 2 = 1
7 2re 11697 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 2lt7 11813 . . . . . 6 2 < 7
97, 8ltneii 10738 . . . . 5 2 ≠ 7
109neii 3015 . . . 4 ¬ 2 = 7
116, 10pm3.2ni 878 . . 3 ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
124, 112false 379 . 2 (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13 8nn 11718 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
14 nnrp 12386 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
16 0le2 11725 . . . . 5 0 ≤ 2
17 2lt8 11820 . . . . 5 2 < 8
18 modid 13257 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
197, 15, 16, 17, 18mp4an 692 . . . 4 (2 mod 8) = 2
2019eleq1i 2906 . . 3 ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21 2ex 11700 . . . 4 2 ∈ V
2221elpr 4571 . . 3 (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
2320, 22bitr2i 279 . 2 ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
242, 12, 233bitri 300 1 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  {cpr 4550   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   < clt 10660  cle 10661  cn 11623  2c2 11678  7c7 11683  8c8 11684  +crp 12375   mod cmo 13230   /L clgs 25867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-dvds 15597  df-gcd 15831  df-prm 16003  df-phi 16090  df-pc 16161  df-lgs 25868
This theorem is referenced by:  2lgs  25980
  Copyright terms: Public domain W3C validator