Theorem 2lgslem4 27643

Description: Lemma 4 for 2lgs 27644: special case of 2lgs 27644 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 27642	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2767	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 12339	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2959	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 12478	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 3014	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 12342	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 12460	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 11350	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2959	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 894	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 378	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		8nn 12363	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
14		nnrp 13056	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℝ+
16		0le2 12370	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
17		2lt8 12467	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
18		modid 13959	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
19	7, 15, 16, 17, 18	mp4an 706	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
20	19	eleq1i 2853	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
21		2ex 12345	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
22	21	elpr 4612	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
23	20, 22	bitr2i 279	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
24	2, 12, 23	3bitri 300	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4589   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  2c2 12322  7c7 12327  8c8 12328  ℝ⁺crp 13044   mod cmo 13932   /_L clgs 27531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-pc 16933  df-lgs 27532

This theorem is used by:  2lgs  27644