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Theorem 2lgslem3 26755
Description: Lemma 3 for 2lgs 26758. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Proof of Theorem 2lgslem3
StepHypRef Expression
1 nnz 12521 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 lgsdir2lem3 26678 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
31, 2sylan 581 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
4 elun 4109 . . 3 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}))
5 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (𝑃 mod 8) ∈ V
65elpr 4610 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
7 2lgslem2.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
872lgslem3a1 26751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
98a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
109expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1110impd 412 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1272lgslem3d1 26754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
1413expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1514impd 412 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 7 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1611, 15jaoi 856 . . . . . . . 8 (((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
176, 16sylbi 216 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1817imp 408 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = 0)
19 iftrue 4493 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2019adantr 482 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2118, 20eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
2221ex 414 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
235elpr 4610 . . . . 5 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5))
2472lgslem3b1 26752 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
2524expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2672lgslem3c1 26753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
2726expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2825, 27jaoi 856 . . . . . . . . 9 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2928imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = 1)
30 1re 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
3332nesymi 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 1
34 3re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
35 3lt7 12343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 < 7
3634, 35ltneii 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 7
3736neii 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 7
3833, 37pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)
39 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 3 = 1))
4039notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 3 = 1))
41 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 3 = 7))
4241notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 3 = 7))
4340, 42anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)))
4438, 43mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
45 1lt5 12334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 5
4630, 45ltneii 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 5
4746nesymi 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 1
48 5re 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℝ
49 5lt7 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 7
5048, 49ltneii 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 7
5150neii 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 7
5247, 51pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)
53 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 5 = 1))
5453notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 5 = 1))
55 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 5 = 7))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 5 = 7))
5754, 56anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)))
5852, 57mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
5944, 58jaoi 856 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6059adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
61 ioran 983 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6261, 6xchnxbir 333 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6360, 62sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
6463iffalsed 4498 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
6529, 64eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
6665a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6766expimpd 455 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6823, 67sylbi 216 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6922, 68jaoi 856 . . 3 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
704, 69sylbi 216 . 2 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
713, 70mpcom 38 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  ifcif 4487  {cpr 4589   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053  cmin 11386   / cdiv 11813  cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  5c5 12212  7c7 12214  8c8 12215  cz 12500  cfl 13696   mod cmo 13775  cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fl 13698  df-mod 13776  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  2lgs  26758
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