Theorem 2lgslem3 27372

Description: Lemma 3 for 2lgs 27375. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Proof of Theorem 2lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12614	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgsdir2lem3 27295	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
4		elun 4133	. . 3 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}))
5		ovex 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 mod 8) ∈ V
6	5	elpr 4631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
7		2lgslem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
8	7	2lgslem3a1 27368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
9	8	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
10	9	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
11	10	impd 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
12	7	2lgslem3d1 27371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
14	13	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
15	14	impd 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 7 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
16	11, 15	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
17	6, 16	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
18	17	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = 0)
19		iftrue 4511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
21	18, 20	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
23	5	elpr 4631	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5))
24	7	2lgslem3b1 27369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
26	7	2lgslem3c1 27370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
27	26	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
28	25, 27	jaoi 857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
29	28	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = 1)
30		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
31		1lt3 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 3
32	30, 31	ltneii 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 3
33	32	nesymi 2990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 3 = 1
34		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3lt7 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 7
36	34, 35	ltneii 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 7
37	36	neii 2935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 3 = 7
38	33, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)
39		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 3 = 1))
40	39	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 3 = 1))
41		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 3 = 7))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 3 = 7))
43	40, 42	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)))
44	38, 43	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
45		1lt5 12425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
46	30, 45	ltneii 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 5
47	46	nesymi 2990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 5 = 1
48		5re 12332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℝ
49		5lt7 12432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 < 7
50	48, 49	ltneii 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 7
51	50	neii 2935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 5 = 7
52	47, 51	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)
53		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 5 = 1))
54	53	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 5 = 1))
55		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 5 = 7))
56	55	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 5 = 7))
57	54, 56	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)))
58	52, 57	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
59	44, 58	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
61		ioran 985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
62	61, 6	xchnxbir 333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
63	60, 62	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
64	63	iffalsed 4516	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
65	29, 64	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
66	65	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
67	66	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
68	23, 67	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
69	22, 68	jaoi 857	. . 3 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
70	4, 69	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
71	3, 70	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  ifcif 4505  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  7c7 12305  8c8 12306  ℤcz 12593  ⌊cfl 13812   mod cmo 13891   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  2lgs  27375