Theorem mendmulrfval 43156

Description: Multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendmulrfval.a	⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendmulrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mendmulrfval	⊢ (.r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendmulrfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendmulrfval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2		mendmulrfval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1	mendbas 43153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
4	2, 3	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))
9	4, 5, 6, 7, 8	mendval 43152	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}))
10	1, 9	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}))
11	10	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → (.r‘𝐴) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
12	2	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12, 12	mpoex 8021	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) ∈ V
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})
15	14	algmulr 43149	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
16	13, 15	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘f (+g‘𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)𝑦))⟩})))
17	11, 16	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ V → (.r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)))
18		fvprc 6818	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
19	1, 18	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
20	19	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (.r‘𝐴) = (.r‘∅))
21		mulridx 17217	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
22	21	str0 17118	. . . 4 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
23	20, 22	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (.r‘𝐴) = ∅)
24	19	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
25	2, 24	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐵 = (Base‘∅))
26		base0 17143	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
27	25, 26	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → 𝐵 = ∅)
28	27	olcd 874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
29		0mpo0 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = ∅)
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)) = ∅)
31	23, 30	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → (.r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦)))
32	17, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (.r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∘ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  {ctp 4583  ⟨cop 4585   × cxp 5621   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   ∘_f cof 7615  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183   LMHom clmhm 20941  MEndocmend 43144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-lmhm 20944  df-mend 43145

This theorem is referenced by:  mendmulr  43157