Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendmulrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendmulrfval 40606
Description: Multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mendmulrfval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendmulrfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mendmulrfval (.r𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendmulrfval
StepHypRef Expression
1 mendmulrfval.a . . . . 5 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2 mendmulrfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31mendbas 40603 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
42, 3eqtr4i 2764 . . . . . 6 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))
6 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
7 eqid 2738 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
8 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))
94, 5, 6, 7, 8mendval 40602 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
101, 9syl5eq 2785 . . . 4 (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
1110fveq2d 6680 . . 3 (𝑀 ∈ V → (.r𝐴) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
122fvexi 6690 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1312, 12mpoex 7805 . . . 4 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) ∈ V
14 eqid 2738 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})
1514algmulr 40599 . . . 4 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
1613, 15mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
1711, 16eqtr4d 2776 . 2 (𝑀 ∈ V → (.r𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)))
18 fvprc 6668 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
191, 18syl5eq 2785 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
2019fveq2d 6680 . . . 4 𝑀 ∈ V → (.r𝐴) = (.r‘∅))
21 df-mulr 16684 . . . . 5 .r = Slot 3
2221str0 16640 . . . 4 ∅ = (.r‘∅)
2320, 22eqtr4di 2791 . . 3 𝑀 ∈ V → (.r𝐴) = ∅)
2419fveq2d 6680 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
252, 24syl5eq 2785 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → 𝐵 = (Base‘∅))
26 base0 16641 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
2725, 26eqtr4di 2791 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2827olcd 873 . . . 4 𝑀 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
29 0mpo0 7253 . . . 4 ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = ∅)
3028, 29syl 17 . . 3 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = ∅)
3123, 30eqtr4d 2776 . 2 𝑀 ∈ V → (.r𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)))
3217, 31pm2.61i 185 1 (.r𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cun 3841  c0 4211  {csn 4516  {cpr 4518  {ctp 4520  cop 4522   × cxp 5523  ccom 5529  cfv 6339  (class class class)co 7172  cmpo 7174  f cof 7425  3c3 11774  ndxcnx 16585  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  .rcmulr 16671  Scalarcsca 16673   ·𝑠 cvsca 16674   LMHom clmhm 19912  MEndocmend 40594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-lmhm 19915  df-mend 40595
This theorem is referenced by:  mendmulr  40607
  Copyright terms: Public domain W3C validator