Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendmulrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendmulrfval 42523
Description: Multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mendmulrfval.a 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
mendmulrfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
mendmulrfval (.rβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mendmulrfval
StepHypRef Expression
1 mendmulrfval.a . . . . 5 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
2 mendmulrfval.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
31mendbas 42520 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄)
42, 3eqtr4i 2758 . . . . . 6 𝐡 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))
6 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
7 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
8 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
94, 5, 6, 7, 8mendval 42519 . . . . 5 (𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}))
101, 9eqtrid 2779 . . . 4 (𝑀 ∈ V β†’ 𝐴 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}))
1110fveq2d 6895 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
122fvexi 6905 . . . . 5 𝐡 ∈ V
1312, 12mpoex 8076 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ V
14 eqid 2727 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})
1514algmulr 42516 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
1613, 15mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
1711, 16eqtr4d 2770 . 2 (𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)))
18 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = βˆ…)
191, 18eqtrid 2779 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝐴 = βˆ…)
2019fveq2d 6895 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜βˆ…))
21 mulridx 17260 . . . . 5 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
2221str0 17143 . . . 4 βˆ… = (.rβ€˜βˆ…)
2320, 22eqtr4di 2785 . . 3 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π΄) = βˆ…)
2419fveq2d 6895 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜βˆ…))
252, 24eqtrid 2779 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜βˆ…))
26 base0 17170 . . . . . 6 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
2725, 26eqtr4di 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
2827olcd 873 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…))
29 0mpo0 7497 . . . 4 ((𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = βˆ…)
3028, 29syl 17 . . 3 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = βˆ…)
3123, 30eqtr4d 2770 . 2 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)))
3217, 31pm2.61i 182 1 (.rβ€˜π΄) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942  βˆ…c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ∘f cof 7675  ndxcnx 17147  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  .rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222   LMHom clmhm 20886  MEndocmend 42511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-lmhm 20889  df-mend 42512
This theorem is referenced by:  mendmulr  42524
  Copyright terms: Public domain W3C validator