MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnpi 23749
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with function arguments as in metcnp 23746. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metcnpi (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
2 simpll 765 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simplr 767 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
54cnprcl 22445 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
65adantl 483 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
7 metcn.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
87mopnuni 23643 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
98ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
106, 9eleqtrrd 2840 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
11 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
127, 11metcnp 23746 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧))))
132, 3, 10, 12syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧))))
141, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧)))
15 breq2 5085 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴))
1615imbi2d 341 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧) ↔ ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴)))
1716rexralbidv 3211 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴)))
1817rspccv 3563 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝑧) β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴)))
1914, 18simpl2im 505 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴)))
2019impr 456 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝑃𝐢𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆͺ cuni 4844   class class class wbr 5081  βŸΆwf 6454  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   < clt 11059  β„+crp 12780  βˆžMetcxmet 20631  MetOpencmopn 20636   CnP ccnp 22425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-topgen 17203  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-top 22092  df-topon 22109  df-bases 22145  df-cnp 22428
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator