MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnpi 23146
Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function, with function arguments as in metcnp 23143. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnpi (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem metcnpi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2 simpll 765 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simplr 767 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
4 eqid 2819 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
54cnprcl 21845 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 𝐽)
65adantl 484 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃 𝐽)
7 metcn.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
87mopnuni 23043 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
98ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑋 = 𝐽)
106, 9eleqtrrd 2914 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑃𝑋)
11 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
127, 11metcnp 23143 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧))))
132, 3, 10, 12syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧))))
141, 13mpbid 234 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧)))
15 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧 ↔ ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴))
1615imbi2d 343 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧) ↔ ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴)))
1716rexralbidv 3299 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴)))
1817rspccv 3618 . . 3 (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝑧) → (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴)))
1914, 18simpl2im 506 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴)))
2019impr 457 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑋 ((𝑃𝐶𝑦) < 𝑥 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑦)) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  wrex 3137   cuni 4830   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148   < clt 10667  +crp 12381  ∞Metcxmet 20522  MetOpencmopn 20527   CnP ccnp 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cnp 21828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator