Theorem finexttrb 33638

Description: The extension 𝐸 of 𝐾 is finite if and only if 𝐸 is finite over 𝐹 and 𝐹 is finite over 𝐾. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finexttrb	⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Proof of Theorem finexttrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgmul 33636	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
3		fldexttr 33631	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 𝐸/FldExt𝐾)
4		brfinext 33625	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
6		brfinext 33625	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
7		brfinext 33625	. . . 4 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹/FinExt𝐾 ↔ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
9		extdgcl 33629	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
11		extdgcl 33629	. . . . 5 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
13		extdggt0 33630	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐸[:]𝐹))
15	14	gt0ne0d 11684	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ≠ 0)
16		extdggt0 33630	. . . . . 6 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → 0 < (𝐹[:]𝐾))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐹[:]𝐾))
18	17	gt0ne0d 11684	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)
19		nn0xmulclb 32715	. . . 4 ⊢ ((((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0* ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*) ∧ ((𝐸[:]𝐹) ≠ 0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
20	10, 12, 15, 18, 19	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
21	8, 20	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
22	2, 5, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  0cc0 11009   < clt 11149  ℕ₀cn0 12384  ℕ₀^*cxnn0 12457   ·_e cxmu 13013  /_FldExtcfldext 33611  /_FinExtcfinext 33612  [:]cextdg 33613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-r1 9660  df-rank 9661  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-xmul 13016  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490  df-acs 17491  df-proset 18200  df-drs 18201  df-poset 18219  df-ipo 18434  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lmhm 20926  df-lbs 20979  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-uvc 21690  df-lindf 21713  df-linds 21714  df-dim 33572  df-fldext 33614  df-extdg 33615  df-finext 33616

This theorem is referenced by: (None)