Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finexttrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finexttrb 32408
Description: The extension ๐ธ of ๐พ is finite if and only if ๐ธ is finite over ๐น and ๐น is finite over ๐พ. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
finexttrb ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ/FinExt๐พ โ†” (๐ธ/FinExt๐น โˆง ๐น/FinExt๐พ)))

Proof of Theorem finexttrb
StepHypRef Expression
1 extdgmul 32407 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐พ) = ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)))
21eleq1d 2819 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ((๐ธ[:]๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)) โˆˆ โ„•0))
3 fldexttr 32404 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐ธ/FldExt๐พ)
4 brfinext 32399 . . 3 (๐ธ/FldExt๐พ โ†’ (๐ธ/FinExt๐พ โ†” (๐ธ[:]๐พ) โˆˆ โ„•0))
53, 4syl 17 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ/FinExt๐พ โ†” (๐ธ[:]๐พ) โˆˆ โ„•0))
6 brfinext 32399 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ/FinExt๐น โ†” (๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0))
7 brfinext 32399 . . . 4 (๐น/FldExt๐พ โ†’ (๐น/FinExt๐พ โ†” (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0))
86, 7bi2anan9 638 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ((๐ธ/FinExt๐น โˆง ๐น/FinExt๐พ) โ†” ((๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0)))
9 extdgcl 32402 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0*)
109adantr 482 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0*)
11 extdgcl 32402 . . . . 5 (๐น/FldExt๐พ โ†’ (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0*)
1211adantl 483 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0*)
13 extdggt0 32403 . . . . . 6 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ 0 < (๐ธ[:]๐น))
1413adantr 482 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ 0 < (๐ธ[:]๐น))
1514gt0ne0d 11724 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐น) โ‰  0)
16 extdggt0 32403 . . . . . 6 (๐น/FldExt๐พ โ†’ 0 < (๐น[:]๐พ))
1716adantl 483 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ 0 < (๐น[:]๐พ))
1817gt0ne0d 11724 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐น[:]๐พ) โ‰  0)
19 nn0xmulclb 31723 . . . 4 ((((๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0* โˆง (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0*) โˆง ((๐ธ[:]๐น) โ‰  0 โˆง (๐น[:]๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0)))
2010, 12, 15, 18, 19syl22anc 838 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐ธ[:]๐น) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐น[:]๐พ) โˆˆ โ„•0)))
218, 20bitr4d 282 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ((๐ธ/FinExt๐น โˆง ๐น/FinExt๐พ) โ†” ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)) โˆˆ โ„•0))
222, 5, 213bitr4d 311 1 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ/FinExt๐พ โ†” (๐ธ/FinExt๐น โˆง ๐น/FinExt๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11056   < clt 11194  โ„•0cn0 12418  โ„•0*cxnn0 12490   ยทe cxmu 13037  /FldExtcfldext 32384  /FinExtcfinext 32385  [:]cextdg 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-rpss 7661  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-r1 9705  df-rank 9706  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-xmul 13040  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-mri 17473  df-acs 17474  df-proset 18189  df-drs 18190  df-poset 18207  df-ipo 18422  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228  df-linds 21229  df-dim 32354  df-fldext 32388  df-extdg 32389  df-finext 32390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator