Theorem finexttrb 33771

Description: The extension 𝐸 of 𝐾 is finite if and only if 𝐸 is finite over 𝐹 and 𝐹 is finite over 𝐾. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finexttrb	⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Proof of Theorem finexttrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgmul 33769	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
3		fldexttr 33764	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 𝐸/FldExt𝐾)
4		brfinext 33758	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
6		brfinext 33758	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
7		brfinext 33758	. . . 4 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹/FinExt𝐾 ↔ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
9		extdgcl 33762	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
11		extdgcl 33762	. . . . 5 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
13		extdggt0 33763	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐸[:]𝐹))
15	14	gt0ne0d 11699	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ≠ 0)
16		extdggt0 33763	. . . . . 6 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → 0 < (𝐹[:]𝐾))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐹[:]𝐾))
18	17	gt0ne0d 11699	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)
19		nn0xmulclb 32800	. . . 4 ⊢ ((((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0* ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*) ∧ ((𝐸[:]𝐹) ≠ 0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
20	10, 12, 15, 18, 19	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
21	8, 20	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
22	2, 5, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  0cc0 11024   < clt 11164  ℕ₀cn0 12399  ℕ₀^*cxnn0 12472   ·_e cxmu 13023  /_FldExtcfldext 33744  /_FinExtcfinext 33745  [:]cextdg 33746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-r1 9674  df-rank 9675  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-xmul 13026  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ocomp 17196  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-mri 17505  df-acs 17506  df-proset 18215  df-drs 18216  df-poset 18234  df-ipo 18449  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-field 20663  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lmhm 20972  df-lbs 21025  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-uvc 21736  df-lindf 21759  df-linds 21760  df-dim 33705  df-fldext 33747  df-extdg 33748  df-finext 33749

This theorem is referenced by: (None)