Theorem finexttrb 33690

Description: The extension 𝐸 of 𝐾 is finite if and only if 𝐸 is finite over 𝐹 and 𝐹 is finite over 𝐾. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finexttrb	⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Proof of Theorem finexttrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgmul 33689	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
3		fldexttr 33686	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 𝐸/FldExt𝐾)
4		brfinext 33681	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
6		brfinext 33681	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
7		brfinext 33681	. . . 4 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹/FinExt𝐾 ↔ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
9		extdgcl 33684	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
11		extdgcl 33684	. . . . 5 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
13		extdggt0 33685	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐸[:]𝐹))
15	14	gt0ne0d 11825	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ≠ 0)
16		extdggt0 33685	. . . . . 6 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → 0 < (𝐹[:]𝐾))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐹[:]𝐾))
18	17	gt0ne0d 11825	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)
19		nn0xmulclb 32782	. . . 4 ⊢ ((((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0* ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*) ∧ ((𝐸[:]𝐹) ≠ 0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
20	10, 12, 15, 18, 19	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
21	8, 20	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
22	2, 5, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   < clt 11293  ℕ₀cn0 12524  ℕ₀^*cxnn0 12597   ·_e cxmu 13151  /_FldExtcfldext 33666  /_FinExtcfinext 33667  [:]cextdg 33669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821  df-lindf 21844  df-linds 21845  df-dim 33627  df-fldext 33670  df-extdg 33671  df-finext 33672

This theorem is referenced by: (None)