Theorem finexttrb 33259

Description: The extension 𝐸 of 𝐾 is finite if and only if 𝐸 is finite over 𝐹 and 𝐹 is finite over 𝐾. Corollary 1.3 of [Lang] , p. 225. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finexttrb	⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Proof of Theorem finexttrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extdgmul 33258	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)))
2	1	eleq1d 2812	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
3		fldexttr 33255	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 𝐸/FldExt𝐾)
4		brfinext 33250	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0))
6		brfinext 33250	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸/FinExt𝐹 ↔ (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0))
7		brfinext 33250	. . . 4 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹/FinExt𝐾 ↔ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0))
8	6, 7	bi2anan9 636	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
9		extdgcl 33253	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0*)
11		extdgcl 33253	. . . . 5 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
13		extdggt0 33254	. . . . . 6 ⊢ (𝐸/FldExt𝐹 → 0 < (𝐸[:]𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐸[:]𝐹))
15	14	gt0ne0d 11782	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐹) ≠ 0)
16		extdggt0 33254	. . . . . 6 ⊢ (𝐹/FldExt𝐾 → 0 < (𝐹[:]𝐾))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → 0 < (𝐹[:]𝐾))
18	17	gt0ne0d 11782	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)
19		nn0xmulclb 32491	. . . 4 ⊢ ((((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0* ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0*) ∧ ((𝐸[:]𝐹) ≠ 0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ≠ 0)) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
20	10, 12, 15, 18, 19	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐸[:]𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹[:]𝐾) ∈ ℕ0)))
21	8, 20	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → ((𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾) ↔ ((𝐸[:]𝐹) ·e (𝐹[:]𝐾)) ∈ ℕ0))
22	2, 5, 21	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐹 ∧ 𝐹/FldExt𝐾) → (𝐸/FinExt𝐾 ↔ (𝐸/FinExt𝐹 ∧ 𝐹/FinExt𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112   < clt 11252  ℕ₀cn0 12476  ℕ₀^*cxnn0 12548   ·_e cxmu 13097  /_FldExtcfldext 33235  /_FinExtcfinext 33236  [:]cextdg 33238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-r1 9761  df-rank 9762  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ocomp 17227  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18278  df-ipo 18493  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-uvc 21678  df-lindf 21701  df-linds 21702  df-dim 33202  df-fldext 33239  df-extdg 33240  df-finext 33241

This theorem is referenced by: (None)