MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrsumbnd 27302
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
Distinct variable groups:   π‘š,π‘Ž,𝑛   π‘š,𝑐,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘Ž)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4006 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
2 1red 11220 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
3 fzfid 13943 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ Fin)
4 elfznn 13535 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 481 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 nnrp 12990 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
7 pntrval.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
87pntrf 27299 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
98ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
11 peano2nn 12229 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
12 nnmulcl 12241 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
1311, 12mpdan 684 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
1410, 13nndivred 12271 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
1514recnd 11247 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
165, 15syl 17 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
173, 16fsumcl 15684 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
187pntrsumo1 27301 . . . . 5 (π‘š ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘š ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
20 fzfid 13943 . . . . 5 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
21 elfznn 13535 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2221adantl 481 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2322, 15syl 17 . . . . . 6 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
2423abscld 15388 . . . . 5 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2520, 24fsumrecl 15685 . . . 4 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2617adantr 480 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
2726abscld 15388 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28 fzfid 13943 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ Fin)
2916adantlr 712 . . . . . . 7 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
3029abscld 15388 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3128, 30fsumrecl 15685 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3225ad2ant2r 744 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3328, 29fsumabs 15752 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
34 fzfid 13943 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
3521adantl 481 . . . . . . . 8 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3635, 15syl 17 . . . . . . 7 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
3736abscld 15388 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3836absge0d 15396 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
39 simplr 766 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
40 simprll 776 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
41 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š < π‘₯)
4239, 40, 41ltled 11367 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š ≀ π‘₯)
43 flword2 13783 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘š ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
45 fzss2 13546 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4734, 37, 38, 46fsumless 15747 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
4827, 31, 32, 33, 47letrd 11376 . . . 4 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
491, 2, 17, 19, 25, 48o1bddrp 15491 . . 3 (⊀ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
5049mptru 1547 . 2 βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
51 zre 12567 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š ∈ ℝ)
5251imim1i 63 . . . . 5 ((π‘š ∈ ℝ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐) β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
53 flid 13778 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) = π‘š)
5453oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„€ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) = (1...π‘š))
5554sumeq1d 15652 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„€ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5655fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
5756breq1d 5159 . . . . 5 (π‘š ∈ β„€ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
5852, 57mpbidi 240 . . . 4 ((π‘š ∈ ℝ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐) β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
5958ralimi2 3077 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
6059reximi 3083 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
6150, 60ax-mp 5 1 βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  abscabs 15186  π‘‚(1)co1 15435  Ξ£csu 15637  Οˆcchp 26830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-cxp 26299  df-atan 26605  df-em 26730  df-cht 26834  df-vma 26835  df-chp 26836  df-ppi 26837
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  27303
  Copyright terms: Public domain W3C validator