MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrsumbnd 27076
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
Distinct variable groups:   π‘š,π‘Ž,𝑛   π‘š,𝑐,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘Ž)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4005 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
2 1red 11217 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
3 fzfid 13940 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ Fin)
4 elfznn 13532 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 482 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 nnrp 12987 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
7 pntrval.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
87pntrf 27073 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
98ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
11 peano2nn 12226 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
12 nnmulcl 12238 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
1311, 12mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
1410, 13nndivred 12268 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
1514recnd 11244 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
165, 15syl 17 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
173, 16fsumcl 15681 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
187pntrsumo1 27075 . . . . 5 (π‘š ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘š ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
20 fzfid 13940 . . . . 5 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
21 elfznn 13532 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2322, 15syl 17 . . . . . 6 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
2423abscld 15385 . . . . 5 (((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2520, 24fsumrecl 15682 . . . 4 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2617adantr 481 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
2726abscld 15385 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28 fzfid 13940 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) ∈ Fin)
2916adantlr 713 . . . . . . 7 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
3029abscld 15385 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3128, 30fsumrecl 15682 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3225ad2ant2r 745 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3328, 29fsumabs 15749 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
34 fzfid 13940 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
3521adantl 482 . . . . . . . 8 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3635, 15syl 17 . . . . . . 7 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
3736abscld 15385 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3836absge0d 15393 . . . . . 6 ((((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
39 simplr 767 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
40 simprll 777 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
41 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š < π‘₯)
4239, 40, 41ltled 11364 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ π‘š ≀ π‘₯)
43 flword2 13780 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘š ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)))
45 fzss2 13543 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘š)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
4734, 37, 38, 46fsumless 15744 . . . . 5 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
4827, 31, 32, 33, 47letrd 11373 . . . 4 (((⊀ ∧ π‘š ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘š < π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
491, 2, 17, 19, 25, 48o1bddrp 15488 . . 3 (⊀ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
5049mptru 1548 . 2 βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
51 zre 12564 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ β†’ π‘š ∈ ℝ)
5251imim1i 63 . . . . 5 ((π‘š ∈ ℝ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐) β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
53 flid 13775 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘š) = π‘š)
5453oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„€ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘š)) = (1...π‘š))
5554sumeq1d 15649 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„€ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5655fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
5756breq1d 5158 . . . . 5 (π‘š ∈ β„€ β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
5852, 57mpbidi 240 . . . 4 ((π‘š ∈ ℝ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐) β†’ (π‘š ∈ β„€ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐))
5958ralimi2 3078 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
6059reximi 3084 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ ℝ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘š))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐)
6150, 60ax-mp 5 1 βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘š ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...π‘š)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  abscabs 15183  π‘‚(1)co1 15432  Ξ£csu 15634  Οˆcchp 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-cxp 26073  df-atan 26379  df-em 26504  df-cht 26608  df-vma 26609  df-chp 26610  df-ppi 26611
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  27077
  Copyright terms: Public domain W3C validator