Theorem oppcciceq 49858

Description: The opposite category has the same isomorphic objects as the original category. (Contributed by Zhi Wang, 27-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppccicb.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcciceq	⊢ ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ( ≃𝑐 ‘𝑂)

Proof of Theorem oppcciceq

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic1st2nd 49853	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝑝 = ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩)
2		oppccicb.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3		cic1st2ndbr 49854	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → (1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝐶)(2nd ‘𝑝))
4	2, 3	oppccic 49850	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → (1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝑂)(2nd ‘𝑝))
5		df-br 5109	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝑂)(2nd ‘𝑝) ↔ ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂))
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂))
7	1, 6	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) → 𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂))
8		cic1st2nd 49853	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂) → 𝑝 = ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩)
9		cic1st2ndbr 49854	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂) → (1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝑂)(2nd ‘𝑝))
10	2	oppccicb 49857	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝐶)(2nd ‘𝑝) ↔ (1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝑂)(2nd ‘𝑝))
11	9, 10	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂) → (1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝐶)(2nd ‘𝑝))
12		df-br 5109	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑝)( ≃𝑐 ‘𝐶)(2nd ‘𝑝) ↔ ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
13	11, 12	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂) → ⟨(1st ‘𝑝), (2nd ‘𝑝)⟩ ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
14	8, 13	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂) → 𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶))
15	7, 14	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝐶) ↔ 𝑝 ∈ ( ≃𝑐 ‘𝑂))
16	15	eqriv 2759	1 ⊢ ( ≃𝑐 ‘𝐶) = ( ≃𝑐 ‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  oppCatcoppc 17773   ≃_𝑐 ccic 17858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-hom 17340  df-cco 17341  df-cat 17730  df-cid 17731  df-homf 17732  df-comf 17733  df-oppc 17774  df-sect 17810  df-inv 17811  df-iso 17812  df-cic 17859

This theorem is used by: (None)