Theorem pczndvds2 16766

Description: The remainder after dividing out all factors of 𝑃 is not divisible by 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pczndvds2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))

Proof of Theorem pczndvds2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16594	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
4	2, 3	pcprendvds2 16740	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))))
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))))
6	3	pczpre 16746	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
7	6	oveq2d 7356	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)) = (𝑃↑sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )))
8	7	oveq2d 7356	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) = (𝑁 / (𝑃↑sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))))
9	8	breq2d 5100	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))) ↔ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )))))
10	5, 9	mtbird 325	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3392   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  supcsup 9318  ℝcr 10996  0cc0 10997   < clt 11137   / cdiv 11765  2c2 12171  ℕ₀cn0 12372  ℤcz 12459  ℤ_≥cuz 12723  ↑cexp 13956   ∥ cdvds 16150  ℙcprime 16569   pCnt cpc 16735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16151  df-gcd 16393  df-prm 16570  df-pc 16736

This theorem is referenced by:  pcndvds2  16767  pcadd  16788