Theorem ply1plusgpropd 22469

Description: Property deduction for univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1baspropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ply1baspropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
ply1baspropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem ply1plusgpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1baspropd.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		ply1baspropd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3		ply1baspropd.p	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
4	1, 2, 3	psrplusgpropd 22461	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆)))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
8	5, 6, 7	mplplusg 22222	. . 3 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
12	9, 10, 11	mplplusg 22222	. . 3 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
13	4, 8, 12	3eqtr4g 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆)))
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
16	14, 5, 15	ply1plusg 22449	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
18		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
19	17, 9, 18	ply1plusg 22449	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
20	13, 16, 19	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346   mPwSer cmps 22120   mPoly cmpl 22122  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  ply1divalg2  26366