Theorem ply1plusgpropd 20982

Description: Property deduction for univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1baspropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
ply1baspropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
ply1baspropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem ply1plusgpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1baspropd.b1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		ply1baspropd.b2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3		ply1baspropd.p	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
4	1, 2, 3	psrplusgpropd 20974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆)))
5		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
7		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
8	5, 6, 7	mplplusg 20958	. . 3 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
10		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
11		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
12	9, 10, 11	mplplusg 20958	. . 3 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
13	4, 8, 12	3eqtr4g 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆)))
14		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
15		eqid 2758	. . 3 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
16	14, 5, 15	ply1plusg 20963	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
17		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
18		eqid 2758	. . 3 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(Poly1‘𝑆))
19	17, 9, 18	ply1plusg 20963	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
20	13, 16, 19	3eqtr4g 2818	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1_oc1o 8111  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637   mPwSer cmps 20680   mPoly cmpl 20682  Poly₁cpl1 20915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-ple 16657  df-psr 20685  df-mpl 20687  df-opsr 20689  df-psr1 20918  df-ply1 20920

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  24852