MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgpropd 22149
Description: Property deduction for univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1baspropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
ply1baspropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
ply1baspropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
ply1plusgpropd (𝜑 → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem ply1plusgpropd
StepHypRef Expression
1 ply1baspropd.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 ply1baspropd.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
3 ply1baspropd.p . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
41, 2, 3psrplusgpropd 22141 . . 3 (𝜑 → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆)))
5 eqid 2727 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6 eqid 2727 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
7 eqid 2727 . . . 4 (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
85, 6, 7mplplusg 21936 . . 3 (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9 eqid 2727 . . . 4 (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
10 eqid 2727 . . . 4 (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
11 eqid 2727 . . . 4 (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
129, 10, 11mplplusg 21936 . . 3 (+g‘(1o mPoly 𝑆)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
134, 8, 123eqtr4g 2792 . 2 (𝜑 → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆)))
14 eqid 2727 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
15 eqid 2727 . . 3 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑅))
1614, 5, 15ply1plusg 22129 . 2 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
17 eqid 2727 . . 3 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
18 eqid 2727 . . 3 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘(Poly1𝑆))
1917, 9, 18ply1plusg 22129 . 2 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘(1o mPoly 𝑆))
2013, 16, 193eqtr4g 2792 1 (𝜑 → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  1oc1o 8473  Basecbs 17171  +gcplusg 17224   mPwSer cmps 21824   mPoly cmpl 21826  Poly1cpl1 22083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-tset 17243  df-ple 17244  df-psr 21829  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-ply1 22088
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  26061
  Copyright terms: Public domain W3C validator