MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrplusgpropd 21607
Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
psrplusgpropd (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
72, 3, 4, 5, 6psrelbas 21347 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
87ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9 psrplusgpropd.b1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
118, 10eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ 𝐵)
12 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
132, 3, 4, 5, 12psrelbas 21347 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1413ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
1514, 10eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)
16 psrplusgpropd.p . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
1716oveqrspc2v 7384 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
181, 11, 15, 17syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
1918mpteq2dva 5205 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
207ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
2113ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5289 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25 inidm 4178 . . . . . . 7 ({𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) = (𝑎𝑑))
27 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) = (𝑏𝑑))
2820, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7626 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))))
2920, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7626 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
3019, 28, 293eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
3130mpoeq3dva 7434 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
32 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
339, 32eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
3433psrbaspropd 21606 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35 mpoeq12 7430 . . . . 5 (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3634, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3731, 36eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
38 ofmres 7917 . . 3 ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏))
39 ofmres 7917 . . 3 ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
4037, 38, 393eqtr4g 2801 . 2 (𝜑 → ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41 eqid 2736 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42 eqid 2736 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
432, 5, 41, 42psrplusg 21349 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44 eqid 2736 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45 eqid 2736 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46 eqid 2736 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
47 eqid 2736 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
4844, 45, 46, 47psrplusg 21349 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
4940, 43, 483eqtr4g 2801 1 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   mPwSer cmps 21306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-tset 17152  df-psr 21311
This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  21615
  Copyright terms: Public domain W3C validator