Theorem psrplusgpropd 21407

Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
psrplusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6		simp2 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7	2, 3, 4, 5, 6	psrelbas 21148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9		psrplusgpropd.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11	8, 10	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵)
12		simp3 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	2, 3, 4, 5, 12	psrelbas 21148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
15	14, 10	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)
16		psrplusgpropd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
17	16	oveqrspc2v 7302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
18	1, 11, 15, 17	syl12anc 834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
19	18	mpteq2dva 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
20	7	ffnd 6601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
21	13	ffnd 6601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5256	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25		inidm 4152	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))
27		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))
28	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7542	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))))
29	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7542	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
30	19, 28, 29	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
31	30	mpoeq3dva 7352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
32		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
33	9, 32	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
34	33	psrbaspropd 21406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35		mpoeq12 7348	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
36	34, 34, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
37	31, 36	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
38		ofmres 7827	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏))
39		ofmres 7827	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
40	37, 38, 39	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
42		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
43	2, 5, 41, 42	psrplusg 21150	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
47		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
48	44, 45, 46, 47	psrplusg 21150	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
49	40, 43, 48	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ∘_f cof 7531   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   mPwSer cmps 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-psr 21112

This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  21415