MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrplusgpropd 22253
Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
psrplusgpropd (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
72, 3, 4, 5, 6psrelbas 21972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9 psrplusgpropd.b1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
118, 10eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ 𝐵)
12 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
132, 3, 4, 5, 12psrelbas 21972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
1514, 10eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)
16 psrplusgpropd.p . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
1716oveqrspc2v 7458 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
181, 11, 15, 17syl12anc 837 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
1918mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
207ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
2113ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5345 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25 inidm 4235 . . . . . . 7 ({𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) = (𝑎𝑑))
27 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) = (𝑏𝑑))
2820, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))))
2920, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
3019, 28, 293eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
3130mpoeq3dva 7510 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
32 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
339, 32eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
3433psrbaspropd 22252 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35 mpoeq12 7506 . . . . 5 (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3634, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3731, 36eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
38 ofmres 8008 . . 3 ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏))
39 ofmres 8008 . . 3 ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
4037, 38, 393eqtr4g 2800 . 2 (𝜑 → ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41 eqid 2735 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42 eqid 2735 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
432, 5, 41, 42psrplusg 21974 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44 eqid 2735 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45 eqid 2735 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46 eqid 2735 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
47 eqid 2735 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
4844, 45, 46, 47psrplusg 21974 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
4940, 43, 483eqtr4g 2800 1 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  22261
  Copyright terms: Public domain W3C validator