MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrplusgpropd 22237
Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
psrplusgpropd (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
72, 3, 4, 5, 6psrelbas 21954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9 psrplusgpropd.b1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
118, 10eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) ∈ 𝐵)
12 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
132, 3, 4, 5, 12psrelbas 21954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
1514, 10eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)
16 psrplusgpropd.p . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
1716oveqrspc2v 7458 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
181, 11, 15, 17syl12anc 837 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑)) = ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑)))
1918mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
207ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
2113ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5339 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25 inidm 4227 . . . . . . 7 ({𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎𝑑) = (𝑎𝑑))
27 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏𝑑) = (𝑏𝑑))
2820, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑅)(𝑏𝑑))))
2920, 21, 24, 24, 25, 26, 27offval 7706 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎𝑑)(+g𝑆)(𝑏𝑑))))
3019, 28, 293eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎f (+g𝑅)𝑏) = (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
3130mpoeq3dva 7510 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
32 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
339, 32eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
3433psrbaspropd 22236 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35 mpoeq12 7506 . . . . 5 (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3634, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
3731, 36eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏)))
38 ofmres 8009 . . 3 ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎f (+g𝑅)𝑏))
39 ofmres 8009 . . 3 ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎f (+g𝑆)𝑏))
4037, 38, 393eqtr4g 2802 . 2 (𝜑 → ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41 eqid 2737 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42 eqid 2737 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
432, 5, 41, 42psrplusg 21956 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44 eqid 2737 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46 eqid 2737 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
47 eqid 2737 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
4844, 45, 46, 47psrplusg 21956 . 2 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
4940, 43, 483eqtr4g 2802 1 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  m cmap 8866  Fincfn 8985  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   mPwSer cmps 21924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-psr 21929
This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  22245
  Copyright terms: Public domain W3C validator