Theorem psrplusgpropd 22209

Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
psrplusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7	2, 3, 4, 5, 6	psrelbas 21924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9		psrplusgpropd.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11	8, 10	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵)
12		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	2, 3, 4, 5, 12	psrelbas 21924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
15	14, 10	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)
16		psrplusgpropd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
17	16	oveqrspc2v 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
18	1, 11, 15, 17	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
19	18	mpteq2dva 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
20	7	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
21	13	ffnd 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5276	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25		inidm 4168	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))
27		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))
28	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))))
29	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7633	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
30	19, 28, 29	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
31	30	mpoeq3dva 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
32		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
33	9, 32	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
34	33	psrbaspropd 22208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35		mpoeq12 7433	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
36	34, 34, 35	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
37	31, 36	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
38		ofmres 7930	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏))
39		ofmres 7930	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
40	37, 38, 39	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
42		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
43	2, 5, 41, 42	psrplusg 21926	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
47		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
48	44, 45, 46, 47	psrplusg 21926	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
49	40, 43, 48	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   mPwSer cmps 21894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-psr 21899

This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  22217