Theorem psrplusgpropd 22586

Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
psrplusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7	2, 3, 4, 5, 6	psrelbas 22276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9		psrplusgpropd.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11	8, 10	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵)
12		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	2, 3, 4, 5, 12	psrelbas 22276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffvelcdmda 7111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
15	14, 10	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)
16		psrplusgpropd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
17	16	oveqrspc2v 7473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
18	1, 11, 15, 17	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
19	18	mpteq2dva 5202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
20	7	ffnd 6735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
21	13	ffnd 6735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7479	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5305	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25		inidm 4126	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))
27		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))
28	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))))
29	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
30	19, 28, 29	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
31	30	mpoeq3dva 7523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
32		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
33	9, 32	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
34	33	psrbaspropd 22585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35		mpoeq12 7519	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
36	34, 34, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
37	31, 36	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
38		ofmres 8023	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏))
39		ofmres 8023	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
40	37, 38, 39	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
42		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
43	2, 5, 41, 42	psrplusg 22278	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
47		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
48	44, 45, 46, 47	psrplusg 22278	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
49	40, 43, 48	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655   ↾ cres 5658   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448   ∘_f cof 7718   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460   mPwSer cmps 22245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-tset 17479  df-psr 22250

This theorem is used by:  ply1plusgpropd  22594