Theorem psrplusgpropd 22146

Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
psrplusgpropd	⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem psrplusgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝜑)
2		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
6		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
7	2, 3, 4, 5, 6	psrelbas 21869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9		psrplusgpropd.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11	8, 10	eleqtrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵)
12		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13	2, 3, 4, 5, 12	psrelbas 21869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏:{𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14	13	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
15	14, 10	eleqtrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)
16		psrplusgpropd.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
17	16	oveqrspc2v 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎‘𝑑) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏‘𝑑) ∈ 𝐵)) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
18	1, 11, 15, 17	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑)) = ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑)))
19	18	mpteq2dva 5184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
20	7	ffnd 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑎 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
21	13	ffnd 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑏 Fn {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5277	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25		inidm 4177	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
26		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑎‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))
27		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑏‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))
28	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7619	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑅)(𝑏‘𝑑))))
29	20, 21, 24, 24, 25, 26, 27	offval 7619	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏) = (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ ((𝑎‘𝑑)(+g‘𝑆)(𝑏‘𝑑))))
30	19, 28, 29	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
31	30	mpoeq3dva 7423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
32		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
33	9, 32	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
34	33	psrbaspropd 22145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
35		mpoeq12 7419	. . . . 5 ⊢ (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∧ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))) → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
36	34, 34, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
37	31, 36	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏)))
38		ofmres 7916	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑅)𝑏))
39		ofmres 7916	. . 3 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))) = (𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)), 𝑏 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ↦ (𝑎 ∘f (+g‘𝑆)𝑏))
40	37, 38, 39	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))))
41		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
42		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
43	2, 5, 41, 42	psrplusg 21871	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))))
44		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
45		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
46		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
47		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
48	44, 45, 46, 47	psrplusg 21871	. 2 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ( ∘f (+g‘𝑆) ↾ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) × (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))))
49	40, 43, 48	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615   ↾ cres 5618   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158   mPwSer cmps 21839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-tset 17177  df-psr 21844

This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  22154