Theorem zsqrtelqelz 16669

Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 16652	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 11113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 12442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 12445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 11640	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 14102	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		zcn 12473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	sqsqrtd 15349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		zq 12852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		qden1elz 16668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
20	15, 19	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
21	14, 20	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
22		densq 16667	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
24	10, 21, 23	3eqtr2rd 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
25	3, 4, 6, 8, 24	sq11d 14165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
26		qden1elz 16668	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
27	26	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
28	25, 27	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℚcq 12846  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  denomcdenom 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-numer 16646  df-denom 16647

This theorem is referenced by:  nonsq  16670  dchrisum0flblem2  27447  posqsqznn  42439