Theorem zsqrtelqelz 16841

Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 16824	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 11226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 12582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 12585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 11754	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 14251	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		zcn 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	sqsqrtd 15519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
15		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		zq 12996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		qden1elz 16840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
20	15, 19	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
21	14, 20	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
22		densq 16839	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
24	10, 21, 23	3eqtr2rd 2807	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
25	3, 4, 6, 8, 24	sq11d 14314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
26		qden1elz 16840	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
27	26	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
28	25, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  2c2 12312  ℤcz 12608  ℚcq 12990  ↑cexp 14117  √csqrt 15310  denomcdenom 16817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-numer 16818  df-denom 16819

This theorem is used by:  nonsq  16842  dchrisum0flblem2  27726  posqsqznn  43157