MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsqrtelqelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsqrtelqelz 16715
Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqrtelqelz ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€)

Proof of Theorem zsqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 16698 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•)
32nnred 12243 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
4 1red 11231 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 1 ∈ ℝ)
52nnnn0d 12548 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
65nn0ge0d 12551 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 0 ≀ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
7 0le1 11753 . . . 4 0 ≀ 1
87a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 0 ≀ 1)
9 sq1 14176 . . . . 5 (1↑2) = 1
109a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (1↑2) = 1)
11 zcn 12579 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1211sqsqrtd 15404 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„€ β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((βˆšβ€˜π΄)↑2) = 𝐴)
1413fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = (denomβ€˜π΄))
15 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
16 zq 12954 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„š)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
18 qden1elz 16714 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜π΄) = 1 ↔ 𝐴 ∈ β„€))
2015, 19mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜π΄) = 1)
2114, 20eqtrd 2767 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = 1)
22 densq 16713 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2))
2322adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜((βˆšβ€˜π΄)↑2)) = ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2))
2410, 21, 233eqtr2rd 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄))↑2) = (1↑2))
253, 4, 6, 8, 24sq11d 14238 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1)
26 qden1elz 16714 . . 3 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1 ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€))
2726adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ ((denomβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 1 ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€))
2825, 27mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„š) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   ≀ cle 11265  β„•cn 12228  2c2 12283  β„€cz 12574  β„šcq 12948  β†‘cexp 14044  βˆšcsqrt 15198  denomcdenom 16691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-numer 16692  df-denom 16693
This theorem is referenced by:  nonsq  16716  dchrisum0flblem2  27416  posqsqznn  41815
  Copyright terms: Public domain W3C validator