Theorem zsqrtelqelz 16812

Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqrtelqelz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqrtelqelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdencl 16795	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ)
3	2	nnred 12243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℝ)
4		1red 11204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 1 ∈ ℝ)
5	2	nnnn0d 12560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) ∈ ℕ0)
6	5	nn0ge0d 12563	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ (denom‘(√‘𝐴)))
7		0le1 11732	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 0 ≤ 1)
9		sq1 14227	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (1↑2) = 1)
11		zcn 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	sqsqrtd 15489	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
14	13	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = (denom‘𝐴))
15		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16		zq 12973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		qden1elz 16811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
20	15, 19	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘𝐴) = 1)
21	14, 20	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = 1)
22		densq 16810	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘((√‘𝐴)↑2)) = ((denom‘(√‘𝐴))↑2))
24	10, 21, 23	3eqtr2rd 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴))↑2) = (1↑2))
25	3, 4, 6, 8, 24	sq11d 14290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (denom‘(√‘𝐴)) = 1)
26		qden1elz 16811	. . 3 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℚ → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
27	26	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → ((denom‘(√‘𝐴)) = 1 ↔ (√‘𝐴) ∈ ℤ))
28	25, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℚ) → (√‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ℚcq 12967  ↑cexp 14093  √csqrt 15280  denomcdenom 16788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790

This theorem is referenced by:  nonsq  16813  dchrisum0flblem2  27673  posqsqznn  43117