Theorem ppi2i 27221

Description: Inference form of ppinprm 27204. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppi1i.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
ppi1i.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppi1i.p	⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
ppi2i.1	⊢ ¬ 𝑁 ∈ ℙ

Assertion

Ref	Expression
ppi2i	⊢ (π‘𝑁) = 𝐾

Proof of Theorem ppi2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppi1i.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2	1	fveq2i 6865	. 2 ⊢ (π‘𝑁) = (π‘(𝑀 + 1))
3		ppi1i.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12590	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5		ppi2i.1	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ℙ
6	1	eleq1i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℙ)
7	5, 6	mtbi 324	. . 3 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ∈ ℙ
8		ppinprm 27204	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑀 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑀 + 1)) = (π‘𝑀))
9	4, 7, 8	mp2an 702	. 2 ⊢ (π‘(𝑀 + 1)) = (π‘𝑀)
10		ppi1i.p	. 2 ⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
11	2, 9, 10	3eqtri 2788	1 ⊢ (π‘𝑁) = 𝐾

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℙcprime 16696  πcppi 27146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697  df-ppi 27152

This theorem is referenced by: (None)