Theorem ppi2i 27295

Description: Inference form of ppinprm 27278. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppi1i.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
ppi1i.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppi1i.p	⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
ppi2i.1	⊢ ¬ 𝑁 ∈ ℙ

Assertion

Ref	Expression
ppi2i	⊢ (π‘𝑁) = 𝐾

Proof of Theorem ppi2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppi1i.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2	1	fveq2i 6882	. 2 ⊢ (π‘𝑁) = (π‘(𝑀 + 1))
3		ppi1i.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12615	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5		ppi2i.1	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ℙ
6	1	eleq1i 2860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℙ)
7	5, 6	mtbi 325	. . 3 ⊢ ¬ (𝑀 + 1) ∈ ℙ
8		ppinprm 27278	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑀 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑀 + 1)) = (π‘𝑀))
9	4, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ (π‘(𝑀 + 1)) = (π‘𝑀)
10		ppi1i.p	. 2 ⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
11	2, 9, 10	3eqtri 2796	1 ⊢ (π‘𝑁) = 𝐾

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ℙcprime 16725  πcppi 27220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726  df-ppi 27226

This theorem is referenced by: (None)