Theorem ppi1i 27093

Description: Inference form of ppiprm 27076. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppi1i.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
ppi1i.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppi1i.p	⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
ppi1i.1	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Assertion

Ref	Expression
ppi1i	⊢ (π‘𝑁) = (𝐾 + 1)

Proof of Theorem ppi1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppi1i.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2	1	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (π‘𝑁) = (π‘(𝑀 + 1))
3		ppi1i.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12611	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
5		ppi1i.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ
6	1, 5	eqeltrri 2826	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℙ
7		ppiprm 27076	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑀 + 1)) = ((π‘𝑀) + 1))
8	4, 6, 7	mp2an 691	. 2 ⊢ (π‘(𝑀 + 1)) = ((π‘𝑀) + 1)
9		ppi1i.p	. . 3 ⊢ (π‘𝑀) = 𝐾
10	9	oveq1i 7424	. 2 ⊢ ((π‘𝑀) + 1) = (𝐾 + 1)
11	2, 8, 10	3eqtri 2760	1 ⊢ (π‘𝑁) = (𝐾 + 1)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   + caddc 11135  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  ℙcprime 16635  πcppi 27019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-ppi 27025

This theorem is referenced by:  ppi2  27095  ppi3  27096