Theorem acycgr2v 35540

Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acycgrv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	usgrcyclgt2v 35521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
3		2re 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	1	fvexi 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		hashxrcl 14392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
8		xrltne 13187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
9	4, 7, 8	mp3an12 1477	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
10	9	neneqd 2969	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
11	2, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
12	11	3expib 1138	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2))
13	12	con2d 135	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 2 → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	nexdv 1963	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	15	nexdv 1963	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17		isacycgr 35535	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  2c2 12294  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29286  USGraphcusgr 29439  Cyclesccycls 30074  AcyclicGraphcacycgr 35532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-edg 29338  df-uhgr 29348  df-upgr 29372  df-umgr 29373  df-uspgr 29440  df-usgr 29441  df-wlks 29889  df-trls 29980  df-pths 30003  df-crcts 30075  df-cycls 30076  df-acycgr 35533

This theorem is referenced by: (None)