Theorem acycgr2v 34793

Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acycgrv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	usgrcyclgt2v 34774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
3		2re 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	1	fvexi 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		hashxrcl 14356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
8		xrltne 13182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
9	4, 7, 8	mp3an12 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
10	9	neneqd 2942	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
12	11	3expib 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2))
13	12	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 2 → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	imp 405	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	nexdv 1931	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	15	nexdv 1931	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17		isacycgr 34788	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
19	16, 18	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  ℝ^*cxr 11285   < clt 11286  2c2 12305  ♯chash 14329  Vtxcvtx 28829  USGraphcusgr 28982  Cyclesccycls 29619  AcyclicGraphcacycgr 34785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-edg 28881  df-uhgr 28891  df-upgr 28915  df-umgr 28916  df-uspgr 28983  df-usgr 28984  df-wlks 29433  df-trls 29526  df-pths 29550  df-crcts 29620  df-cycls 29621  df-acycgr 34786

This theorem is referenced by: (None)