Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acycgr2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acycgr2v 34668
Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
acycgrv.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
acycgr2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acycgrv.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21usgrcyclgt2v 34649 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
3 2re 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
43rexri 11273 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ*
51fvexi 6898 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
6 hashxrcl 14319 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
8 xrltne 13145 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ* ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ* ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  2)
94, 7, 8mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  2)
109neneqd 2939 . . . . . . . 8 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2)
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2)
12113expib 1119 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2))
1312con2d 134 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 2 β†’ Β¬ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1413imp 406 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
1514nexdv 1931 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
1615nexdv 1931 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
17 isacycgr 34663 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1817adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1916, 18mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  β„*cxr 11248   < clt 11249  2c2 12268  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28759  USGraphcusgr 28912  Cyclesccycls 29546  AcyclicGraphcacycgr 34660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-edg 28811  df-uhgr 28821  df-upgr 28845  df-umgr 28846  df-uspgr 28913  df-usgr 28914  df-wlks 29360  df-trls 29453  df-pths 29477  df-crcts 29547  df-cycls 29548  df-acycgr 34661
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator