Theorem acycgr2v 35353

Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acycgrv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	usgrcyclgt2v 35334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
3		2re 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	1	fvexi 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		hashxrcl 14308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
8		xrltne 13103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
9	4, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
10	9	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
12	11	3expib 1123	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2))
13	12	con2d 134	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 2 → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	nexdv 1938	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	15	nexdv 1938	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17		isacycgr 35348	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
19	16, 18	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  2c2 12225  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29084  USGraphcusgr 29237  Cyclesccycls 29873  AcyclicGraphcacycgr 35345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-edg 29136  df-uhgr 29146  df-upgr 29170  df-umgr 29171  df-uspgr 29238  df-usgr 29239  df-wlks 29688  df-trls 29779  df-pths 29802  df-crcts 29874  df-cycls 29875  df-acycgr 35346

This theorem is referenced by: (None)