Theorem acycgr2v 32628

Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
acycgrv.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
acycgr2v	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acycgrv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	usgrcyclgt2v 32609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
3		2re 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 10737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	1	fvexi 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		hashxrcl 13768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
8		xrltne 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
9	4, 7, 8	mp3an12 1448	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 2)
10	9	neneqd 2956	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2)
12	11	3expib 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) = 2))
13	12	con2d 136	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 2 → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
14	13	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	nexdv 1937	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	15	nexdv 1937	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17		isacycgr 32623	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  ℝ^*cxr 10712   < clt 10713  2c2 11729  ♯chash 13740  Vtxcvtx 26888  USGraphcusgr 27041  Cyclesccycls 27673  AcyclicGraphcacycgr 32620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-edg 26940  df-uhgr 26950  df-upgr 26974  df-umgr 26975  df-uspgr 27042  df-usgr 27043  df-wlks 27488  df-trls 27581  df-pths 27604  df-crcts 27674  df-cycls 27675  df-acycgr 32621

This theorem is referenced by: (None)