Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acycgr2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acycgr2v 34793
Description: A simple graph with two vertices is an acyclic graph. (Contributed by BTernaryTau, 12-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
acycgrv.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
acycgr2v ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgr2v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acycgrv.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21usgrcyclgt2v 34774 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
3 2re 12324 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
43rexri 11310 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ*
51fvexi 6916 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ∈ V
6 hashxrcl 14356 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
8 xrltne 13182 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ* ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ* ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  2)
94, 7, 8mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  2)
109neneqd 2942 . . . . . . . 8 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2)
112, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2)
12113expib 1119 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) = 2))
1312con2d 134 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 2 β†’ Β¬ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1413imp 405 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
1514nexdv 1931 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
1615nexdv 1931 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
17 isacycgr 34788 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1817adantr 479 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
1916, 18mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 2) β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  β„*cxr 11285   < clt 11286  2c2 12305  β™―chash 14329  Vtxcvtx 28829  USGraphcusgr 28982  Cyclesccycls 29619  AcyclicGraphcacycgr 34785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-edg 28881  df-uhgr 28891  df-upgr 28915  df-umgr 28916  df-uspgr 28983  df-usgr 28984  df-wlks 29433  df-trls 29526  df-pths 29550  df-crcts 29620  df-cycls 29621  df-acycgr 34786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator