Theorem prdsbaslem 17408

Description: Lemma for prdsbas 17412 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbaslem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})))
prdsbaslem.1	⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
prdsbaslem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
prdsbaslem.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
prdsbaslem.4	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝑇⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))

Assertion

Ref	Expression
prdsbaslem	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝑇)

Proof of Theorem prdsbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbaslem.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})))
2		prdsvalstr 17407	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩})) Struct ⟨1, ;15⟩
3		prdsbaslem.2	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		prdsbaslem.4	. 2 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝑇⟩} ⊆ (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), ∙ ⟩}))
5		prdsbaslem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
6		prdsbaslem.1	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝐸‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	strfv3 17147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  {ctp 4627  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  1c1 11113  5c5 12274  ;cdc 12681  Slot cslot 17123  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  ·_𝑖cip 17211  TopSetcts 17212  lecple 17213  distcds 17215  Hom chom 17217  compcco 17218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231

This theorem is referenced by:  prdssca  17411  prdsbas  17412  prdsplusg  17413  prdsmulr  17414  prdsvsca  17415  prdsip  17416  prdsle  17417  prdsds  17419  prdstset  17421  prdshom  17422  prdsco  17423