MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgsgrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsplusgsgrpcl 18758
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are semigroups. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgsgrpcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgsgrpcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgsgrpcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgsgrpcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgsgrpcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgsgrpcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Smgrp)
prdsplusgsgrpcl.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgsgrpcl.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsplusgsgrpcl (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem prdsplusgsgrpcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgsgrpcl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsplusgsgrpcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsplusgsgrpcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsplusgsgrpcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsplusgsgrpcl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Smgrp)
65ffnd 6738 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
7 prdsplusgsgrpcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
8 prdsplusgsgrpcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
9 prdsplusgsgrpcl.p . . 3 + = (+g𝑌)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9prdsplusgval 17520 . 2 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
115ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Smgrp)
123adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
134adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
146adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
157adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
171, 2, 12, 13, 14, 15, 16prdsbasprj 17519 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
188adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
191, 2, 12, 13, 14, 18, 16prdsbasprj 17519 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
20 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
21 eqid 2735 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
2220, 21sgrpcl 18752 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ Smgrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2311, 17, 19, 22syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
2423ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
251, 2, 3, 4, 6prdsbasmpt 17517 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
2624, 25mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
2710, 26eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cmpt 5231   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Xscprds 17492  Smgrpcsgrp 18744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745
This theorem is referenced by:  prdssgrpd  18759
  Copyright terms: Public domain W3C validator