Theorem prdsbasprj 16444

Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsbasmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
prdsbasprj.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsbasprj	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsbasprj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6410	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐽))
2		2fveq3 6415	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝐽)))
3	1, 2	eleq12d 2871	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽))))
4		prdsbasmpt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
5		prdsbasmpt.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
6		prdsbasmpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		prdsbasmpt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsbasmpt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		prdsbasmpt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
10	5, 6, 7, 8, 9	prdsbas2 16441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
11	4, 10	eleqtrd 2879	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
12		elixp2 8151	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
13	12	simp3bi 1178	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
15		prdsbasprj.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16	3, 14, 15	rspcdva 3502	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3088  Vcvv 3384   Fn wfn 6095  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  Xcixp 8147  Basecbs 16181  X_scprds 16418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-sup 8589  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-prds 16420

This theorem is referenced by:  prdsplusgcl  17633  prdsidlem  17634  prdsmndd  17635  prdspjmhm  17679  prdsinvlem  17837  prdscmnd  18576  prdsmulrcl  18924  prdsringd  18925  prdsvscacl  19286  prdslmodd  19287