Theorem prdsplusgval 17395

Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem prdsplusgval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 7157	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 6591	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsplusgval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdsplusg 17380	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
11		fveq1 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (𝑦‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	11, 12	oveqan12d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dv 5189	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
16		prdsplusgval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		prdsplusgval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	4	mptexd 7164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
19	10, 15, 16, 17, 18	ovmpod 7505	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  X_scprds 17367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-prds 17369

This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  17396  pwsplusgval  17412  xpsadd  17496  prdsplusgsgrpcl  18624  prdssgrpd  18625  prdsplusgcl  18660  prdsidlem  18661  prdsmndd  18662  prdsinvlem  18946  prdscmnd  19758  prdsrngd  20079  prdsringd  20224  prdslmodd  20890  prdstmdd  24027