Theorem prelrrx2bd 50031

Description: Equivalent condition for 𝑍 being a point in a real Euclidean space of dimension 2, determined by its coordinates. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
prelrrx2bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
prelrrx2bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2bd	⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))

Proof of Theorem prelrrx2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelrrx2bd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		prelrrx2bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		wrdlen2 15124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
5		s2prop 15087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
7	6	eqeq2d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ 𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}))
8		prelrrx2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		prelrrx2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
10	9	oveq2i 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m (0..^2))
11	8, 10	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m (0..^2))
12	11	eleq2i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
13	12	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
14	13	elmaprd 8898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍:(0..^2)⟶ℝ)
15		iswrdi 14689	. . . . . 6 ⊢ (𝑍:(0..^2)⟶ℝ → 𝑍 ∈ Word ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ Word ℝ)
17		2nn0 12650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 2 ∈ ℕ0)
19		fnfzo0hash 14622	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍:(0..^2)⟶ℝ) → (♯‘𝑍) = 2)
20	18, 14, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (♯‘𝑍) = 2)
21	16, 20	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2))
22		reex 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → ℝ ∈ V)
24		ovexd 7478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → (0..^2) ∈ V)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → (♯‘𝑍) = 2)
26	25	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 2 = (♯‘𝑍))
27		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ Word ℝ)
28	26, 27	wrdfd 14691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍:(0..^2)⟶ℝ)
29	23, 24, 28	elmapdd 8889	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
30	29, 11	eleqtrrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31	30	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
32	21, 31	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2)))
33	32	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵)) ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
34	4, 7, 33	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  Word cword 14685  ⟨“cs2 15020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027

This theorem is used by:  prelrrx2b  50032  rrx2xpref1o  50036