Theorem prelrrx2bd 49919

Description: Equivalent condition for 𝑍 being a point in a real Euclidean space of dimension 2, determined by its coordinates. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prelrrx2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
prelrrx2.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
prelrrx2bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
prelrrx2bd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
prelrrx2bd	⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))

Proof of Theorem prelrrx2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelrrx2bd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		prelrrx2bd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		wrdlen2 15100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
5		s2prop 15063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
7	6	eqeq2d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ 𝑍 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}))
8		prelrrx2.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		prelrrx2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
10	9	oveq2i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m (0..^2))
11	8, 10	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m (0..^2))
12	11	eleq2i 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
13	12	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
14	13	elmaprd 8873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍:(0..^2)⟶ℝ)
15		iswrdi 14665	. . . . . 6 ⊢ (𝑍:(0..^2)⟶ℝ → 𝑍 ∈ Word ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ Word ℝ)
17		2nn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 2 ∈ ℕ0)
19		fnfzo0hash 14598	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍:(0..^2)⟶ℝ) → (♯‘𝑍) = 2)
20	18, 14, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (♯‘𝑍) = 2)
21	16, 20	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2))
22		reex 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → ℝ ∈ V)
24		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → (0..^2) ∈ V)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → (♯‘𝑍) = 2)
26	25	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 2 = (♯‘𝑍))
27		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ Word ℝ)
28	26, 27	wrdfd 14667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍:(0..^2)⟶ℝ)
29	23, 24, 28	elmapdd 8864	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ (ℝ ↑m (0..^2)))
30	29, 11	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ Word ℝ) ∧ (♯‘𝑍) = 2) → 𝑍 ∈ 𝑃)
31	30	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
32	21, 31	impbida 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ (𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2)))
33	32	anbi1d 643	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵)) ↔ ((𝑍 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝑍) = 2) ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))
34	4, 7, 33	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑍‘0) = 𝐴 ∧ (𝑍‘1) = 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  ⟨“cs2 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003

This theorem is used by:  prelrrx2b  49920  rrx2xpref1o  49924