Theorem prjspner 41048

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 (and indirectly ℙ𝕣𝕠𝕛_n through df-prjspn 41044) is an equivalence relation. This is a lemma that converts the equivalence relation used in results like prjspertr 41034 and prjspersym 41036 (see prjspnerlem 41046). Several theorems are covered in one thanks to the theorems around df-er 8670. (Contributed by SN, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspner.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspner.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspner.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
prjspner	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspner.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspner.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
7		prjspner.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		prjspner.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	6, 7, 8, 9, 10	prjsper 41037	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
13		prjspner.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
14		prjspner.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
15	13, 3, 7, 14, 9	prjspnerlem 41046	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
16		ereq1 8677	. . 3 ⊢ ( ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
17	1, 15, 16	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
18	12, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  Vcvv 3459   ∖ cdif 3925  {csn 4606  {copab 5187  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377   Er wer 8667  0cc0 11075  ...cfz 13449  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165   ·_𝑠 cvsca 17166  0_gc0g 17350  DivRingcdr 20240  LVecclvec 20635   freeLMod cfrlm 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-drng 20242  df-subrg 20283  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lvec 20636  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-dsmm 21190  df-frlm 21205

This theorem is referenced by:  prjspnssbas  41050  prjspnn0  41051  prjspner01  41054  prjspner1  41055