Theorem prjspner 41939

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 (and indirectly ℙ𝕣𝕠𝕛_n through df-prjspn 41935) is an equivalence relation. This is a lemma that converts the equivalence relation used in results like prjspertr 41925 and prjspersym 41927 (see prjspnerlem 41937). Several theorems are covered in one thanks to the theorems around df-er 8705. (Contributed by SN, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspner.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspner.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspner.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
prjspner	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspner.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspner.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21656	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
7		prjspner.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		prjspner.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	6, 7, 8, 9, 10	prjsper 41928	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
13		prjspner.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
14		prjspner.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
15	13, 3, 7, 14, 9	prjspnerlem 41937	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
16		ereq1 8712	. . 3 ⊢ ( ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
17	1, 15, 16	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
18	12, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940  {csn 4623  {copab 5203  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   Er wer 8702  0cc0 11112  ...cfz 13490  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394  DivRingcdr 20587  LVecclvec 20950   freeLMod cfrlm 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642

This theorem is referenced by:  prjspnssbas  41941  prjspnn0  41942  prjspner01  41945  prjspner1  41946