Theorem prjspner 42108

Description: The relation used to define ℙ𝕣𝕠𝕛 (and indirectly ℙ𝕣𝕠𝕛_n through df-prjspn 42104) is an equivalence relation. This is a lemma that converts the equivalence relation used in results like prjspertr 42094 and prjspersym 42096 (see prjspnerlem 42106). Several theorems are covered in one thanks to the theorems around df-er 8723. (Contributed by SN, 14-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspner.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspner.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspner.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspner.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspner.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspner.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
prjspner	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspner.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspner.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21699	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
7		prjspner.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		prjspner.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	6, 7, 8, 9, 10	prjsper 42097	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
12	5, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵)
13		prjspner.e	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
14		prjspner.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
15	13, 3, 7, 14, 9	prjspnerlem 42106	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
16		ereq1 8730	. . 3 ⊢ ( ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
17	1, 15, 16	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∼ Er 𝐵 ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} Er 𝐵))
18	12, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  Vcvv 3463   ∖ cdif 3936  {csn 4624  {copab 5205  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  0cc0 11138  ...cfz 13516  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  DivRingcdr 20628  LVecclvec 20991   freeLMod cfrlm 21684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685

This theorem is referenced by:  prjspnssbas  42110  prjspnn0  42111  prjspner01  42114  prjspner1  42115